Experimentarium Digitale

Un ballon rond ? Quelle drôle d'idée

Monticelli Marc , Programmation expressive (LLM) — 2026-04-29T07:35:40Z

Note préliminaire — La question posée ici concerne le ballon de football traditionnel, formé de 12 pentagones et 20 hexagones (le célèbre icosaèdre tronqué). Les ballons modernes, qui adoptent depuis quelques années d'autres pavages de la sphère, soulèvent de nouveaux et très beaux problèmes géométriques qui méritent un futur article.

Une question qui semble innocente

Combien existe-t-il de ballons de foot ?

Reformulée comme un mathématicien : combien existe-t-il de façons d'agencer 60 sommets sur une sphère, en les reliant par des arêtes, de telle sorte qu'on obtienne des faces pentagonales et hexagonales, à raison de 3 arêtes par sommet ?

La réponse — surprenante — est 1812. Et le ballon de foot que vous connaissez, avec ses 12 pentagones noirs bien isolés, n'est qu'un seul de ces 1812 cas. Tous les autres existent et sont parfaitement valides du point de vue combinatoire, mais sont presque toujours « étranges » : leurs pentagones se collent les uns aux autres et déforment la sphère.

Vous pouvez parcourir les 1812 formes en 3D sur cette page

Le prétexte chimique : les fullerènes C60

En 1985, Harold Kroto, Robert Curl et Richard Smalley découvrent une nouvelle forme du carbone : une molécule en cage moléculaire de 60 atomes organisée comme un ballon de foot — le buckminsterfullerène, en hommage à Buckminster Fuller et ses dômes géodésiques. Prix Nobel 1996. Mais la même formule C60 peut donner naissance à d'autres molécules en cage de géométrie différente : ce sont les isomères du C60. C'est ici que les mathématiques prennent le pouvoir.

Une combinatoire à la Descartes-Euler

Pourquoi exactement 12 pentagones et 20 hexagones ? Quatre relations combinatoires suffisent à le démontrer.

(1) Descartes-Euler pour tout polyèdre convexe : $s - a + f = 2$ (s sommets, a arêtes, f faces).
(2) Décomposition : $p + h = f$, en notant p et h le nombre de pentagones et d'hexagones.
(3) 3-régularité (3 arêtes par sommet, chaque arête comptée deux fois) : $3s = 2a$.
(4) Double comptage par les faces (chaque arête sépare deux faces) : $5p + 6h = 2a$.

Puisqu'on veut $s = 60$, on tire successivement $a = 90$, $f = 32$, puis le système $p + h = 32$, $5p + 6h = 180$ donne :

$$h = 20, \quad p = 12$$

Toujours. Aucune liberté sur les nombres. Toute la liberté est dans l'agencement des 12 pentagones parmi les 32 faces, et c'est là qu'apparaissent les 1812 possibilités.

La règle des pentagones isolés (IPR)

Parmi ces 1812 isomères, un seul a la propriété que ses 12 pentagones sont deux à deux non adjacents : c'est l'Isolated Pentagon Rule, et c'est précisément le ballon de foot connu.

Les 1811 autres ont, par construction, des paires de pentagones adjacents. Ces couples créent localement une courbure forte qui rend ces molécules moins stables, ce qui explique pourquoi seul le buckyball IPR se forme spontanément en quantité dans la nature. Mais sur le plan purement mathématique, les 1812 sont à pied d'égalité.

Énumérer l'inénumérable

Comment construire les 1812 sans en oublier ni en compter deux fois ? Brinkmann, Goedgebeur et McKay (logiciel libre buckygen, 2012) procèdent par construction récursive :

On part du dodécaèdre (C20), le plus petit fullerène possible.
On lui applique des opérations d'expansion qui ajoutent typiquement 4 atomes : un coin de la cage formé par deux arêtes adjacentes est écarté, 4 nouveaux atomes s'insèrent dans la fente, et la cage se reconnecte localement.
À chaque étape on choisit parmi plusieurs expansions possibles. Pour éviter les doublons, l'algorithme ne retient qu'une forme canonique par isomère obtenu.
On répète jusqu'à 60 atomes.

Le résultat est un arbre de génération de 5770 nœuds, dont les feuilles sont les 1812 isomères de C60.

L'atelier physique et son pendant numérique

L'atelier « Un ballon rond ? Quelle drôle d'idée ! » propose de construire des fullerènes à la main, avec un kit fabriqué au fablab du Mathemarium : 12 pentagones et 20 hexagones aimantés.

Le premier défi : fabriquer le ballon de foot en respectant la règle IPR. Le défi suivant, plus ouvert : chercher d'autres fullerènes par arguments de regroupement et de symétrie. Que se passe-t-il si l'on partage les 12 pentagones en deux groupes de 6, formant deux calottes aux pôles ? En 4 + 4 + 4 (symétrie tétraédrique) ? En 2 + 5 + 5 ? Les tuiles aimantés permettent de tester très rapidement.

La simulation interactive ci-dessous est le pendant numérique de cette exploration. Là où l'atelier physique permet de construire quelques fullerènes particuliers par raisonnement, la simulation permet de naviguer dans l'arbre complet des 1812, y compris l'écrasante majorité d'isomères « ordinaires » sans symétrie remarquable, qu'aucun raisonnement manuel n'aurait atteints. Les coordonnées 3D sont calculées par une relaxation par ressorts (longueurs de liaison cibles, angles de pentagone à 108°, hexagone à 120°).

Mode d'emploi de la simulation

Boutons

Trois groupes : reset, navigation manuelle dans l'arbre, génération automatique.

⏮ Dodécaèdre : retour à la racine. Toujours actif.
← Ascendant : remonte d'une étape vers le fullerène plus petit dont l'actuel est dérivé.
Descendant ↘ : descend d'une étape en tirant aléatoirement parmi les expansions possibles (pondéré pour atteindre chacun des 1812 isomères avec probabilité uniforme).
Croissance auto → : enchaîne automatiquement jusqu'à un C60.
🎲 Au hasard : reset + croissance vers un C60 aléatoire.
Générer buckyball ⚽ : suit le chemin canonique vers l'unique isomère IPR.

Pause d'observation

À chaque clic manuel sur « Descendant », la simulation marque une pause avant de relaxer. Apparaissent alors :

Atomes rouges : les nouveaux insérés sur la coque.
Arêtes rouges : les nouvelles liaisons créées.
Pointillés gris : les liaisons coupées par l'expansion.

Pendant cette pause, deux outils :

↔ Comparer avant/après : bascule instantanément entre l'état d'avant l'expansion (parent) et celui d'après l'insertion (enfant non encore relaxé). On peut tourner la molécule librement entre deux clics pour observer le site d'expansion sous tous les angles.
▶ Lancer la relaxation : démarre la simulation des forces de ressorts. Les couleurs rouges s'estompent à l'arrivée sur un C60.

Affichage

Faces pleines : pentagones noirs, hexagones blancs, comme un vrai ballon de foot. Décocher pour voir le squelette atomes-arêtes seul.
Liste à droite : journal des étapes, avec le nombre de choix qui existaient à chaque embranchement (« 1 PARMI 5 » = 5 expansions canoniques possibles, l'aléa en a choisi une).

Pour voir le buckminsterfullerène (ballon rond)

Cliquez Générer buckyball ⚽. À l'inverse, pour voir un fullerène C60 « ordinaire » (ce que peuple l'espace combinatoire), cliquez plusieurs fois 🎲 Au hasard : vous verrez ces structures typiques où les pentagones forment des chaînes — une géométrie qui n'existe pas en nature mais domine numériquement.

FraiSCAD (tech preview )

Monticelli Marc — 2026-04-16T18:46:27Z

FraiSCAD est un petit environnement de modélisation paramétrique 2D et 3D entièrement en français, pensé pour les élèves de collège, voir de lycée, les ateliers code et tous ceux qui veulent apprendre la programmation en voyant immédiatement ce que fait leur code — et surtout comment il s'exécute.

On tape quelques lignes, on clique sur ▶ Exécuter, une forme apparaît. On bouge un curseur, la forme évolue en temps réel. On ouvre le panneau diagramme, l'algorithme se dessine à côté du code — boucles, conditions, appels de fonction — et on peut rejouer pas à pas ou remonter dans le temps à n'importe quelle étape pour comprendre ce qui s'est passé.

Pourquoi FraiSCAD ?

FraiSCAD est né d'une pratique de terrain. Nous utilisons OpenSCAD depuis une dizaine d'années pour les stages de 3ème — un très bon logiciel de modélisation paramétrique par programmation que nous employons aussi pour créer des objets mathématiques pour l'impression 3D — mais l'expérience a montré ses limites pour un usage de découverte pour des élèves qui n'ont fait que du Scratch à quelques exceptions : interface et syntaxe en anglais, installation nécessaire sur chaque poste, pas de mode tortue pour les plus jeunes, et une courbe d'apprentissage trop raide pour des élèves qui découvrent la programmation.

FraiSCAD reprend l'esprit d'OpenSCAD — décrire des formes par l'algorithmique — mais dans un environnement pensé dès le départ pour l'éducation : des mots-clés en français, une syntaxe simplifiée, un mode tortue Logo, une vision sous forme de diagramme qui rappelle scratch, une navigation dans le déroulé de l'algorithme, et un accès immédiat depuis n'importe quel navigateur.

Quatre héritages

FraiSCAD réunit quatre approches venues d'horizons très différents qui n'avaient jamais été mises côte à côte dans un même outil — une tradition pédagogique (Logo et la tortue), un paradigme de CAD (OpenSCAD), une norme d'ingénierie (DRAKON) et une culture de l'expérimentation numérique interactive temps-réel développé au LJAD :

Logo et la tortue — tradition pédagogique (Seymour Papert, MIT, 1967)

Logo est l'une des rares vraies traditions pédagogiques du code avec Scratch. Papert l'a conçu explicitement comme un environnement d'apprentissage des mathématiques par la programmation, théorisé dans Mindstorms (1980). Une tortue qui avance, tourne, lève ou baisse son crayon, et laisse un trait derrière elle. Par l'intuition géométrique, l'élève apprend à raisonner avec son corps, à découper un problème en étapes simples.
En français : avancer(100), droite(120), stylo_couleur("or"). La tortue fonctionne aussi en 3D (monter, descendre, rouler_droite) pour les spirales et les fractales dans l'espace.

OpenSCAD — paradigme de CAD paramétrique (2009)

OpenSCAD n'est pas un outil scolaire — il a été créé pour les makers et les ingénieurs — mais le paradigme qu'il défend est extraordinairement clair à enseigner : la modélisation 3D décrite par du code, primitive après primitive (cube, sphere, cylindre, tore), combinées par des transformations (translation, homothétie), et des opérations booléennes (union, difference, intersection). Les pièces sont réelles — exportables en STL, prêtes pour l'impression 3D ou la CNC.
En français : difference() { cube(40); cylindre(8, 50) } crée une plaque percée.

DRAKON — notation visuelle d'algorithmes (programme spatial Bourane, années 1980)

Même si on peut lui trouver une ressemblance avec Scratch, DRAKON est une norme de schémas-blocs développée pour le programme spatial soviétique Bourane, conçue pour que des algorithmes complexes restent lisibles par des équipes pluridisciplinaires (logiciel + mécanique + opérations). Chaque construction (test, boucle, sous-programme) a une forme standardisée. Mais sa lisibilité en fait un excellent support pour voir un algorithme sans l'écrire.
Dans FraiSCAD, le diagramme DRAKON du programme s'affiche à côté du code et se met à jour en temps réel pendant la frappe. Chaque icône est colorée par catégorie (affectation, forme, CSG, condition…), les fonctions deviennent des silhouettes parallèles, les boucles ont leur variable d'itération affichée en pastille, qui peut même être modifié par un Time-Machine local (voir plus bas)

Le programme interactif — culture de l'interactivité temps-réel

Quatrième influence, qui est le cœur de FraiSCAD : celle des environnements où le programme n'est pas un script qu'on lance puis qui meurt ; il réagit, en direct, à l'utilisateur. Lignée Smalltalk-Dynabook d'Alan Kay (Xerox PARC, années 1970), prolongée par Interface Builder sur NeXT (Jean-Marie Hullot, 1988) qui ouvre la conception d'interfaces réactives à des non-développeurs, théorisée par Bret Victor (2012) autour de la latence cognitive — l'idée que tout retard dans la boucle entre intention et observation tue des univers d'idées entiers.

Et — plus directement encore — une pratique de plus de trente ans d'expérimentation numérique interactive au LJAD (Laboratoire J.A. Dieudonné, Nice) et auparavant à l'INLN (Institut Non Linéaire de Nice) : simulations en ligne de systèmes dynamiques, d'équations aux dérivées partielles, de probabilités, lignée amorcée avec xdim au début des années 1990, dans la continuité directe du paradigme d'Interface Builder. C'est le terreau direct sur lequel FraiSCAD a été créé.

FraiSCAD pousse cette idée à plusieurs niveaux :

Sliders paramétriques : parametre taille = 100 [20 300] crée automatiquement un curseur dans l'interface. Le programme se ré-exécute à chaque mouvement du curseur.
Clics sur le canvas : les variables clic_x, clic_y, clics_x[i], nb_clics sont injectées avant chaque exécution. Le programme peut dessiner « là où on clique », accumuler les clics, gérer le glisser-déposer.
Time Machine : une fois exécuté, le programme reste inspectable étape par étape — globalement, par boucle, ou par sous-objet 3D (voir ci-dessous).

Voir l'algorithme à plusieurs niveaux

Pas-à-pas animé

Coche ☑ Tortue et clique sur ⏭ Avant : chaque instruction s'exécute une à une, avec :

la ligne courante surlignée dans l'éditeur ;
l'icône courante allumée dans DRAKON, avec un cross-fade entre les étapes ;
un point lumineux qui voyage le long de la flèche entre deux blocs ;
en 2D, la tortue qui glisse le long du segment ; en 3D, les formes qui apparaissent au fur et à mesure des instructions ;
les variables qui flashent en jaune dans les cartes des scopes au moment où elles changent.

C'est l'algorithme lui même qui s'anime en plus de ce qu'il produit.

Time Machine globale

Sous la barre d'outils, un slider étape N / total · ligne L. Glisser = sauter à n'importe quelle étape.
Cliquer sur une icône DRAKON = sauter à sa prochaine occurrence dans l'exécution.
Cliquer sur un numéro de ligne = idem par ligne d'éditeur.

Particulièrement puissant pour comprendre la récursivité : les appels de fonction s'empilent dans des cartes superposées avec leurs paramètres, un badge ↻ × N indique la profondeur de récursion.

Avec la Time Machine, la récursion arrête d'être un mystère. On voit la pile se construire, puis se défaire.

Time Machine locale à chaque boucle

Nouveauté qu'on ne trouve dans aucun debugger classique : chaque boucle pour reçoit un mini-slider vertical à droite de sa pastille i = …. Glisser ce slider = sauter directement à l'itération où la variable a cette valeur. Le corps entier de la boucle est ré-exécuté avec cette valeur — les icônes du corps s'illuminent en vert lime, un flash en vague parcourt le corps top-to-bottom.

C'est l'équivalent d'un « step-into-a-specific-iteration » qu'aucun environnement classique ne propose.

Aperçu 3D des sous-objets CSG

Quand on écrit difference() { cube(60); percer(...) }, FraiSCAD capture le mesh contribué par chaque ligne du corps CSG. Un petit badge (ⓘ) apparaît sur ces lignes dans DRAKON ; cliquer dessus ouvre un panneau 3D interactif (rotation, zoom, pan à la souris) qui montre cet objet seul, isolé de l'opération.

Idéal pour comprendre une éponge de Menger : on visualise séparément le cube qu'on perce et les barres qu'on retire, avant de voir le résultat de la soustraction. Une approche « ingrédients vs. plat fini » que la modélisation paramétrique classique ne propose pas.

IMAGE

Ce qu'on peut faire concrètement

2D : cercles, carrés, polygones, étoiles, fractales, rosaces, dessins libres à la souris ; couleurs nommées en français (rouge, or, argent, marron…).
3D : cubes, sphères, cylindres, cônes, tores, polyèdres libres, texte 3D.
CSG réel : union, difference, intersection via le moteur Manifold (WASM) — robuste, précis sur 60+ opérations enchaînées.
Extrusion et révolution : extruder(15) { polygone(6, 30) }, revolution(360) { rectangle(5, 40) }.
Tortue 2D et 3D : déplacements relatifs/absolus, empilement d'état (sauver_position / restaurer_position) pour les arbres fractals.
Récursivité : fonctions qui s'appellent elles-mêmes, visualisation empilée des appels avec leurs paramètres locaux.
Interactivité dans le programme : sliders paramétriques, clics et glisser-déposer, ré-exécution temps réel.
Import / export : import des fichiers OpenSCAD .scad ; export en STL (impression 3D), OBJ+MTL (avec couleurs), SVG vectoriel, PNG.
Sauvegarde locale : fichiers .fsc enregistrables et rechargeables, détection automatique des modifications non sauvegardées.

Pour qui ?

Enseignants de mathématiques, technologie, informatique (SNT, NSI) cherchant un outil qui parle français et qui rend l'algorithme visible à l'élève.
Élèves de collège et lycée qui veulent dessiner, construire, imprimer en 3D sans passer par l'anglais et par dix concepts d'un coup.
Ateliers code, clubs robotiques, FabLab scolaires : passerelle naturelle entre Scratch et les langages texte.
Autodidactes curieux de voir ce qui se passe vraiment quand un programme s'exécute.

FraiSCAD tourne entièrement dans le navigateur — pas d'installation, pas de compte, pas de serveur — sur ordinateur comme sur tablette (mode paysage ou portrait), en thème clair ou sombre.

Une approche pédagogique cohérente

Sous le code en français se cachent tous les concepts fondamentaux que les élèves rencontreront plus tard :

Concept	En FraiSCAD	Transférable vers
Variables, types, expressions	`variable rayon = 50`	Python, JavaScript, C
Boucle for/while	`pour (i de 1 a 10) { … }`	n'importe quel langage
Conditions	`si / sinonsi / sinon`	n'importe quel langage
Fonctions, récursion	`fonction f(n) { … }`	partout
Opérations booléennes 3D	`difference()`	OpenSCAD, Fusion 360, FreeCAD
Indentation par accolades	style Allman (`{` aligné)	C, Java, C#, JavaScript

Le code est insensible à la casse (AVANCER, Avancer et avancer sont équivalents), pour éviter aux débutants les erreurs d'étourderie qui les bloquent en début d'apprentissage.

Essayer FraiSCAD

FraiSCAD fonctionne sur ordinateur, tablette et tableau interactif. Aucune installation, aucun compte : il suffit d'ouvrir la page dans un navigateur. Veuillez noter que freescad est en cours de développement et peut évoluer à tout moment.

Accès à la tech-preview : https://experiences.mathemarium.fr/fraiscad/
Documentation (format markdown) : https://experiences.mathemarium.fr/fraiscad/manuel-fraiscad.md

Pourquoi ce nom ?

FraiSCAD est un portemanteau qui combine :

« Français » — le langage de programmation est entièrement en français
« Frais » — évoque quelque chose de moderne, de nouveau, une version rafraîchie
« SCAD » — le suffixe d'OpenSCAD, ce qui le rend immédiatement reconnaissable comme son cousin français

En résumé : un OpenSCAD frais et français, dans un nom court et prononçable

Quand Ada Lovelace inventa la programmation un siècle avant les premiers ordinateurs

Monticelli Marc , Programmation expressive (LLM) — 2026-02-11T11:23:33Z

La visualisation interactive ci-dessous reproduit le fonctionnement de la Note G écrite par Ada Lovelace constitant le tout premier programme informatique de l'histoire (plus de détails sous la visualisation). Vous pouvez suivre, opération par opération, le cheminement des données entre le Magasin et le Moulin, observer les boucles se dérouler, et voir le résultat B₈ = −1/30 émerger pas à pas.

Espace ou → : avancer d'une étape
← : reculer
A : lecture automatique
R : réinitialiser

Lien direct vers la visualisation

Qui est Ada Lovelace ?

Augusta Ada King, comtesse de Lovelace (1815–1852), est la fille du poète Lord Byron et d'Annabella Milbanke. Élevée dans les sciences par sa mère, Ada se passionne très tôt pour les mathématiques.

En 1833, à 17 ans, elle rencontre Charles Babbage, inventeur et mathématicien, qui travaille sur un projet visionnaire : la Machine Analytique, un calculateur mécanique programmable par cartes perforées, inspiré des métiers à tisser Jacquard, un siècle avant les premiers ordinateurs.

Ada saisit immédiatement la portée de l'invention. Là où Babbage voit un calculateur, elle voit un instrument capable de manipuler tout ce qui peut être exprimé par des symboles — nombres, musique, logique. Elle écrit dans la Note A : « La Machine Analytique tisse des motifs algébriques tout comme le métier Jacquard tisse des fleurs et des feuilles ».

La Note G : le premier programme

En 1843, Ada traduit de l'italien un article de Luigi Menabrea décrivant la Machine Analytique. Elle y ajoute sept notes (A à G), trois fois plus longues que l'article original. La dernière, la Note G, contient ce qui est aujourd'hui considéré comme le premier programme informatique de l'histoire.

Ce programme calcule les nombres de Bernoulli, une suite de fractions qui apparaissent dans de nombreux domaines des mathématiques — séries, théorie des nombres, sommes de puissances d'entiers.

Ada choisit délibérément un cas complexe pour démontrer la puissance de la Machine : « Nous terminerons ces Notes en suivant en détail les étapes par lesquelles la machine pourrait calculer les Nombres de Bernoulli, ceci étant un exemple assez compliqué de ses capacités ».

Un algorithme complet et moderne

Le programme de la Note G n'est pas un simple calcul séquentiel. Il introduit des concepts fondamentaux de la programmation :

Boucles imbriquées — des opérations qui se répètent selon un compteur, un concept absent de toute machine de l'époque
Variables et mémoire — plusieurs « colonnes » du Magasin, numérotées V1 à V24, jouant le rôle de registres
Récursivité — chaque nombre de Bernoulli est calculé à partir des précédents
Séparation code/données — les « cartes d'opération » (le programme) sont distinctes des « cartes de variables » (les données)

Le programme comporte 25 opérations distinctes, qui se déroulent en 36 étapes une fois les boucles déroulées. Il utilise les quatre opérations arithmétiques et un compteur de boucle stocké en V10.

La Machine Analytique : un ordinateur mécanique

La machine de Babbage, jamais construite de son vivant, comportait deux organes principaux :

Le Moulin (the Mill) — l'unité de calcul, équivalent de notre processeur. Il reçoit deux opérandes, exécute une opération (+, −, ×, ÷) et produit un résultat.
Le Magasin (the Store) — la mémoire, constituée de colonnes de roues dentées. Chaque colonne stocke un nombre de 50 chiffres décimaux.

Les données circulent entre le Magasin et le Moulin via des engrenages et des axes mécaniques. Le programme, lui, est encodé sur des cartes perforées — une idée empruntée aux métiers Jacquard.

La question de la convention

Un détail qui prête à confusion : Ada utilise une convention de numérotation différente de la nôtre pour les nombres de Bernoulli. Elle ne retient que les valeurs non triviales (en excluant B₀ et B₁ modernes) et les numérote avec des indices impairs :

Ada (1843)	Moderne	Valeur
B₁ (n=1)	B₂	1/6
B₃ (n=2)	B₄	−1/30
B₅ (n=3)	B₆	1/42
B₇ (n=4)	B₈	−1/30

Son programme, avec n=4, calcule donc ce qu'elle appelle « B₇ », qui correspond à notre B₈ = −1/30.

Un bug historique

Le programme contient un bug — probablement le premier de l'histoire du logiciel. À l'opération nº4, Ada écrit une division V5÷V4 alors qu'il faudrait V4÷V5 : les opérandes sont inversés. Probablement une erreur de typographie plutôt qu'une erreur logique d'Ada, car la colonne « Statement of Results » du même tableau montre bien le bon résultat (contenu de V4 divisé par contenu de V5).

Pour aller plus loin

Simulation réalisée d'après le diagramme original publié dans Scientific Memoirs, vol. III, 1843.

Modèle de Lozi (version en couleurs)

Chazottes Jean-René , Monticelli Marc , René Lozi — 2023-12-08T09:05:10Z

Le modèle de Lozi est un système dynamique à temps discret du plan dans lui-même : étant donné un point $(x_0,y_0)$ du plan, son évolution est donnée par

$$ \begin{cases} x_{n+1}= y_n+1-a|x_n|\\ y_{n+1}=bx_n \end{cases} $$

pour $n=0,1,2,\ldots$.Pour plus de détails sur ce modèle, voir cet article.

Ici, nous nous concentrons sur le cas $b=-1$ (cas conservatif). Quand on clique dans la vue, on démarre la trajectoire du point sélectionné avec une certaine couleur (tirée aléatoirement). Cela permet de mieux voir comment les structures se constuisent.

Modèle de Lozi

Chazottes Jean-René , Monticelli Marc , René Lozi — 2023-12-08T08:40:53Z

En 1977, René Lozi a introduit un système dynamique à temps discret du plan dans lui-même en remplaçant le terme quadratique du modèle de Hénon par une valeur absolue, ce qui donne une application affine par morceaux : étant donné un point $(x_0,y_0)$ du plan, son évolution est donnée par

$$ \begin{cases} x_{n+1}= y_n+1-a|x_n|\\ y_{n+1}=bx_n \end{cases} $$

pour $n=0,1,2,\ldots$.

Le modèle de Lozi est beaucoup plus simple à étudier mathématiquement que celui de Hénon tout en ayant la même richesse de comportements.

Quand $|b|<1$, la dynamique est dissipative dans le sens que si on prend une région du plan et qu'on l'itère, sa surface devient strictement plus petite. Pour certaines valeurs des paramètres, ce système dynamique a un attracteur étrange. En fait, Michal Misiurewicz a démontré que pour l'ensemble de paramètres suivant

$$ \Big\{ (a,b)\in \mathbb{R}^2 : b>0, a\sqrt{2} < b +2, 2a + b < 4 \Big\}, $$

on a bien un attracteur étrange.

Quand $|b|=1$, la dynamique est conservative : si on prend une région du plan et qu'on l'itère, cette fois-ci sa surface est inchangée (mais elle se déforme). Dans l'expérience numérique ci-dessous, on pourra constater l'extraordinaire structure du portrait de phase.

Une version en couleurs dans le cas conservatif se trouve là.

Attracteur de Plykin sur la sphère

Chazottes Jean-René , Monticelli Marc — 2022-09-16T06:52:49Z

S. Kuznetsov a proposé un système dynamique explicite donnant un attracteur de Plykin (qui est un attracteur hyperbolique). Ce système évolue sur la sphère unité.

On part d'une condition initiale qui est un point $\boldsymbol{x}_0=(x_0,y_0,z_0)$ qui satisfait $x_0^2+y_0^2+z_0^2=1$. Ensuite on définit son orbite par récurrence :

$$ \boldsymbol{x}_{n+1}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_n) :=\boldsymbol{f}_+(\,\,\boldsymbol{f}_-(\boldsymbol{x}_n)), \, n\geq 0 $$

où

$$ \boldsymbol{f}_{\pm}(\boldsymbol{x})= \begin{pmatrix} \pm z \\ \frac{y\, \mathrm{e}^{\frac{\varepsilon}{2}(x^2+y^2)} \cos\big(\frac{\pi}{2}(z\sqrt{2}+1)\big)\,\pm\, x\, \mathrm{e}^{-\frac{\varepsilon}{2}(x^2+y^2)} \sin\big(\frac{\pi}{2}(z\sqrt{2}+1)\big)}{\sqrt{\cosh( \varepsilon(x^2+y^2) +\varepsilon(y^2-x^2)\frac{\sinh(\varepsilon(x^2+y^2))}{\varepsilon(x^2+y^2)}}} \\ \frac{y\, \mathrm{e}^{\frac{\varepsilon}{2}(x^2+y^2)} \sin\big(\frac{\pi}{2}(z\sqrt{2}+1)\big)\,\mp\, x\, \mathrm{e}^{-\frac{\varepsilon}{2}(x^2+y^2)} \cos\big(\frac{\pi}{2}(z\sqrt{2}+1)\big)}{\sqrt{\cosh(\varepsilon(x^2+y^2)) +\varepsilon(y^2-x^2)\frac{\sinh(\varepsilon(x^2+y^2)}{\varepsilon(x^2+y^2)}}} \end{pmatrix}\cdot $$

Noeuds toriques

Maisonobe Philippe , Monticelli Marc — 2022-09-12T08:02:50Z

En cours d'écriture. Seule l'expérience numérique interactive est actuellement disponible.

Computer experiments and visualization in mathematics and physics. A subjective short walk among some historical examples

Monticelli Marc — 2022-03-22T21:18:00Z

- Blog

Connaît-on toutes les suites de Barker ?

Monticelli Marc — 2022-03-21T21:17:00Z

Les suites de Barker

Eliahou Shalom , Monticelli Marc — 2022-03-21T11:06:00Z

La question considérée ici concerne des suites finies de +1 et −1 satisfaisant quelques conditions élémentaires. Elle est ouverte depuis plus de 60 ans.

Ronald Hugh Barker [1915 - 2015] était un physicien et ingénieur irlandais spécialisé dans la transmission des signaux.

En 1953, ses travaux sur des problèmes de synchronisation digitale l'ont conduit à poser une question mathématique d'apparence simple mais qui, plus de 70 ans après, résiste encore et toujours aux efforts de résolution des mathématiciens.

C'est ainsi que sont nées les suites de Barker, des suites finies de +1 et −1 satisfaisant certaines conditions décrites plus bas. Grâce à leurs propriétés mathématiques, les suites de Barker sont largement utilisées de nos jours dans les radars, en téléphonie mobile, pour le WiFi, le GPS etc. … (Lire l'article complet).

…

Pour tester facilement de nombreux exemples, voici un petit calculateur interactif d'auto-corrélations de suites binaires.

Par défaut, une suite binaire aléatoire de longueur n=10 s'affiche. Un clic sur une case change le signe de celle-ci. Les coefficients d'auto-corrélation c1,…,cn−1 de la suite sont alors automatiquement actualisés. C'est intéressant d'observer le changement induit sur ces coefficients par un seul petit changement de signe.

On dispose des contrôles suivants. Le curseur permet de varier la longueur n entre 2 et 16. Un premier bouton, alea, permet à chaque clic d'afficher une nouvelle suite binaire aléatoire de longueur n. On dispose aussi d'un bouton pour chacune des opérations rev, neg et alt, permettant ainsi de visualiser leur effet sur les coefficients d'auto-corrélation. Et enfin, les quatre derniers boutons permettent d'afficher certaines suites binaires spécifiques.

Voir en ligne : https://images.math.cnrs.fr/Connait...