Experimentarium Digitale

Des canards dans mes neurones

Berglund Nils , Monticelli Marc — 2015-03-25T15:05:00Z

Comment modéliser le potentiel électrique d'un neurone par une équation différentielle non linéaire ; et comment l'instabilité des solutions appelées canards organise la dynamique. Le potentiel électrique généré par un neurone peut être décrit par une équation différentielle, obtenue en modélisant la membrane du neurone comme un circuit électrique. Cette équation admet des solutions particulières, appelées canards, dont la description mathématique n'est pas évidente.

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Équation aux Dérivées Partielles Stochastique 2D

Berglund Nils , Monticelli Marc — 2014-11-19T00:23:17Z

Une équation aux dérivées partielles stochastique, ou EDPS, décrit l'évolution dans l'espace et dans le temps d'un champ soumis à un terme aléatoire. Dans le cas de l'équation d'Allen—Cahn, ce champ peut représenter la densité d'atomes de deux types différents dans un alliage, ou encore l'aimantation d'un matériau magnétique.

L'équation d'Allen—Cahn en dimension $2$ pour le champ $u(t,x,y)$ s'écrit $\dot u = k \Delta u + u - u^3 + b \xi$.
Le terme $k \Delta u$ (Laplacien par rapport aux variables spatiales $x$ et $y$) décrit le couplage entre atomes voisins, et tend à aplatir le profil $u$. Le terme $u - u^3$ représente la tendance de l'alliage vers l'un des états stables $+1$ ou $-1$. Enfin le terme $\xi$, appelé bruit blanc espace-temps, est un terme aléatoire décrivant l'agitation thermique.

Cette équation montre le phénomène de séparation de phase (« coarsening ») : les régions de phase $+1$ et $-1$ tendent à s'épaissir au cours du temps. Ce phénomène est plus marqué plus $k$ et grand, et s'accélère lorsque l'intensité du bruit augmente.

Pour plus de détails, lire l'article de Nils Berglund sur Image des maths.

Voir en ligne : Équation aux_Dérivées Partielles_Stochastique 2D

Équation aux Dérivées Partielles Stochastique 1D

Berglund Nils , Monticelli Marc — 2014-11-18T18:48:30Z

L'équation d'Allen—Cahn pour le champ $u(t,x)$ s'écrit $\dot u = k u'' + u - u^3 + b \xi$.
Le terme $k u''$ (dérivée seconde par rapport à $x$) décrit le couplage entre atomes voisins, et tend à aplatir le profil $u$. Le terme $u - u^3$ représente la tendance de l'alliage vers l'un des états stables $+1$ ou $-1$. Enfin le terme $\xi$, appelé bruit blanc espace-temps, est un terme aléatoire décrivant l'agitation thermique.

Pour plus de détails, lire l'article de Nils Berglund sur Image des maths.

Voir en ligne : Équation aux_Dérivées Partielles_Stochastique 1D

Qu'est-ce qu'une Équation aux Dérivées Partielles Stochastique ?

Berglund Nils , Monticelli Marc — 2014-09-28T14:03:00Z

Martin Hairer vient de recevoir la Médaille Fields pour ses travaux sur les structures de régularité, qui ont permis des progrès importants dans l'étude des équations aux dérivées partielles stochastiques (EDPS). D'où viennent ces équations, à quoi servent-elles, et quels sont ces progrès importants ? Nous nous proposons ici d'apporter quelques éléments de réponse à ces questions à l'aide d'exemples.

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