Pendule avec fil souple

Chazottes Jean-René , Monticelli Marc , Villani Cédric — 2015-01-25T14:00:39Z

Contrairement au pendule simple, le pendule considéré ici est une masse accrochée à fil souple au lieu d'une tige (rigide). Le nouveau phénomène est le décrochage de la masse lorsqu'elle n'exerce plus de tension sur le fil : il y a une phase de chute libre.
Dans l'expérience numérique interactive ci-dessous, une zone rouge est indiquée dans le plan de phase $(\theta,\dot{\theta})$ : dans cette zone, le pendule n'obéit plus à l'équation du pendule simple.

Utilisation de la simulation :

Cliquez-déplacez dans la vue de gauche pour donner un angle au pendule avec une vitesse nulle.
Cliquez-déplacez dans le portrait de phase (vue de droite) pour donner un angle et une vitesse initiales au pendule.
Cliquez sur Lancer pour lancer la simulation.
Cliquer sur Effacer pour effacer le portrait de phase.

Les zones « interdites » pour lesquelles le pendule décroche sont indiquées en rouge sur le portrait de phase.

Nous donnons un peu plus de détails sur la zone rouge. Les équations gouvernant le mouvement du pendule sont

$$ \begin{cases} mL\ddot{\theta}=-mg\sin\theta\\ -mL\dot{\theta}^2= mg\cos\theta-T \end{cases} $$

où $T$ est l'intensité de la force de tension qui s'exerce le long du fil. On a donc

$$ T=mL\dot{\theta}^2+mg\cos\theta. $$

Physiquement, $T\geq 0$, ce qui impose une contrainte sur $\theta$ et $\dot{\theta}$ : la zone rouge dans laquelle $T\leq 0$ est déterminée par l'inéquation $\dot{\theta}^2+\frac{g}{L}\cos\theta\leq 0$ qui délimite les deux régions rouges symétriques.

Pendule double

Chazottes Jean-René , Monticelli Marc , Villani Cédric — 2015-01-21T16:57:37Z

Le double pendule est obtenu à partir du pendule simple en lui accrochant un second pendule simple. La seconde tige peut pivoter librement autour de la masse du premier pendule.
Pour décrire l'état de ce système, on utilise l'angle $\theta_1$ que fait la tige du pendule supérieur (de longueur $L_1$) par rapport à la verticale, la vitesse angulaire $\dot{\theta}_1$, l'angle $\theta_2$ que fait la tige du pendule inférieur (de longueur $L_2$) par rapport à la verticale et la vitesse angulaire $\dot{\theta}_2$.
Par rapport au pendule simple, la dynamique du pendule double est étonnamment plus compliquée puisqu'il apparaît deux nouveaux phénomènes : la quasi-périodicité et le chaos déterministe. L'expérience numérique interactive ci-dessous permet de le constater.

En posant $u_i=\theta_i$, $v_i=\dot{\theta}_i$, $i=1,2$, les équations du double pendule s'écrivent

$$ \begin{cases} \dot{u}_1=v_1\\ \dot{v}_1= \frac{-g(2m_1+m_2)\sin(u_1)-m_2 g\sin(u_1-2u_2)-2m_2\sin(u_1-u_2)[L_2 v_2^2 + L_1v_1^2\cos(u_1-u_2)]}{L_1(2m_1+m_2-m_2\cos(2u_1-2u_2))}\\ \dot{u}_2=v_2\\ \dot{v}_2= \frac{2\sin(u_1-u_2)[L_1 (m_1+m_2) v_1^2+g(m_1+m_2) \cos(u_1)+L_2 m_2 v_2^2\cos(u_1-u_2)]} {L_2(2m_1+m_2-m_2\cos(2u_1-2u_2))} \end{cases} $$

Experimentarium Digitale

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Pendule double