Bobby, le Blob mathématicien

Catellier Rémi , Lemesle Valérie , Monticelli Marc — 2021-10-19T09:31:40Z

Modèle jouet conçu pour la fête de la science 2021 à Nice.

(Ressources pour la classe en fin d'article)

Le blob est un être biologique bien étrange : ni animal, ni végétal, ni champignon. C'est ce qu'on appelle un myxomycète, avec des caractéristiques qui lui sont propres. Le blob n'est composé que d'une seule cellule de très grande taille, mais qui comprend des millions de noyaux (qui contiennent chacun une copie de son ADN).

Pour comprendre les mécanismes d'un phénomène comme la croissance d'un Blob, les mathématiciens et les physiciens cherchent des modèles simplifiés en réduisant un maximum de paramètres pour comprendre un mécanisme précis puis ils complexifient le modèle.

Marches aléatoires

Le Blob n'a ni vue, ni odorat. Comment peut-il alors trouver sa nourriture ?
En explorant tout autour de lui de façon aléatoire. En mathématiques on parle de marches aléatoires. C'est un domaine toujours actif en recherche.

Regardez sur la 1ère expérience numérique interactive la façon dont un Blob qui irait dans une direction tirée aléatoirement à chaque itération (haut, bas, gauche, droite), explore la boite de pétrie à la recherche de nourriture.

Pas très optimale non ?

Si un blob de ce type existait, il lui faudrait jusqu'à 118 heures pour trouver de la nourriture dans une boite de pétri de 5 cm de rayon (78 cm²) à une vitesse de progression de 1cm/heure. Pourquoi 118 alors ?

Une marche aléatoire repasse par des zones déja couvertes, l'équation mathématique du temps nécesaire pour couvrir toute la surface de la boite est d'ordre de grandeur :

$$\frac{\pi t}{ln(t)} {\displaystyle \approx } 78$$

Multiplication des « branches »

Une solution pour explorer plus rapidement son environnement à la recherche de nourriture est de se multiplier en créant une multitude de « branches ».

Un exemple simple de cette « démultiplication » est l'arbre fractale. Il s'agit d'un arbre, mais théorique : un tronc qui a deux branches ; et ces 2 branches ont elles même 2 sous-branches ; et ainsi de suite. On parle d'objet mathématique "autosimilaire".
Essayez avec l'expérience numérique interactive suivante d'occuper une maximum d'espace en jouant sur les angles, les longueurs et le nombre d'itérations (profondeur de l'arbre).

Un modèle jouet de croissance du Blob

En combinant ces 2 mécanismes : marche aléatoire et multiplication de branches, nous allons créer notre premier modèle numérique de Blob (ou Blob numérique :-) ).

On part de zéro.
On place N cellules de Blob au centre.
A chaque itération, on fait avancer les cellules de façon aléatoire comme dans la 1ère expérience (haut, bas, droite, gauche). La vitesse de progression des cellules est constante, mais la direction peut donc changer de
$$0, \pi/2, , -\pi/2$$
.
Tous les Tb itérations, P pourcents des branches vont créer une nouvelle branche qui partira explorer la boite de pétri à son tour.

Testez l'expérience suivante :

On voit bien que la croissance des branches n'est pas optimale et ne correspond pas à la réalité. Les branches ne changent que très légèrement leurs directions au cours du temps.

Un 2ème modèle jouet

Changeons la régle dans l'expérience n°4 :

Cette fois ci on change aléatoirement la direction des branches d'un déviation maximum dTheta. On peut également changer V la vitesse de progression

Que constatez vous.

Il s'agit bien sur d'un modèle extrêmement simplifié de croissance d'un blob . On appel ça un modèle jouet. Mais sur cette base, on peut complexifier le modèle en rajoutant des mécanismes :

que se passe t-il quand 2 branches se croisent ?
les cellules les plus éloignées d'un point de nourriture meurent elles ? Et si oui sous quelles conditions ?

Il existe des modèles très différents de celui ci, plus ou moins proche de la réalité avec des mathématiques plus complexes. Ces modèles théoriques pour être validé doivent être confronté à des expériences réelles.

Le point de départ de Bobby le Blob mathématicien a été la fabrication au Mamath d'une boîte à Blob pour des enseignant.e.s avec qui nous travaillons et qui allaient participer avec leurs classes au projet #elevetonblob.

Ressources pour la classe

Les abaques nécessaires pour la marche aléatoire sont disponibles en prêt au Mathemarium.

Document pédagogique pour les élèves

Présentation de l'enseignant pour diffusion dans la classe

Experimentarium Digitale