Modèle de Lozi (version en couleurs)

Chazottes Jean-René , Monticelli Marc , René Lozi — 2023-12-08T09:05:10Z

Le modèle de Lozi est un système dynamique à temps discret du plan dans lui-même : étant donné un point $(x_0,y_0)$ du plan, son évolution est donnée par

$$ \begin{cases} x_{n+1}= y_n+1-a|x_n|\\ y_{n+1}=bx_n \end{cases} $$

pour $n=0,1,2,\ldots$.Pour plus de détails sur ce modèle, voir cet article.

Ici, nous nous concentrons sur le cas $b=-1$ (cas conservatif). Quand on clique dans la vue, on démarre la trajectoire du point sélectionné avec une certaine couleur (tirée aléatoirement). Cela permet de mieux voir comment les structures se constuisent.

Modèle de Lozi

Chazottes Jean-René , Monticelli Marc , René Lozi — 2023-12-08T08:40:53Z

En 1977, René Lozi a introduit un système dynamique à temps discret du plan dans lui-même en remplaçant le terme quadratique du modèle de Hénon par une valeur absolue, ce qui donne une application affine par morceaux : étant donné un point $(x_0,y_0)$ du plan, son évolution est donnée par

$$ \begin{cases} x_{n+1}= y_n+1-a|x_n|\\ y_{n+1}=bx_n \end{cases} $$

pour $n=0,1,2,\ldots$.

Le modèle de Lozi est beaucoup plus simple à étudier mathématiquement que celui de Hénon tout en ayant la même richesse de comportements.

Quand $|b|<1$, la dynamique est dissipative dans le sens que si on prend une région du plan et qu'on l'itère, sa surface devient strictement plus petite. Pour certaines valeurs des paramètres, ce système dynamique a un attracteur étrange. En fait, Michal Misiurewicz a démontré que pour l'ensemble de paramètres suivant

$$ \Big\{ (a,b)\in \mathbb{R}^2 : b>0, a\sqrt{2} < b +2, 2a + b < 4 \Big\}, $$

on a bien un attracteur étrange.

Quand $|b|=1$, la dynamique est conservative : si on prend une région du plan et qu'on l'itère, cette fois-ci sa surface est inchangée (mais elle se déforme). Dans l'expérience numérique ci-dessous, on pourra constater l'extraordinaire structure du portrait de phase.

Une version en couleurs dans le cas conservatif se trouve là.

Experimentarium Digitale

Modèle de Lozi (version en couleurs)

Modèle de Lozi