Experimentarium Digitale

Turing patterns

Chazottes Jean-René , Monticelli Marc — 2022-02-10T16:43:25Z

Alan Turing was the first to propose a model to account for the very large diversity of patterns in nature, such as animal coats. This model is based on a “reaction-difusion equation” of the form(*)

$\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t}=f(u,v)+A \nabla^2 u\\\frac{\partial v}{\partial t}=g(u,v)+B \nabla^2 v\end{cases}$

where $u(x,y,t)$ is the concentration at point $(x,y)$ and at time $t$ of the activator (which color the skin), and $v(x,y,t)$ is that of the inhibitor (which prevents the activator from being expressed). The positive coefficients $A,B$ are the diffusion coefficients.

In the digital experiment below, we have a portion of the plan $(x,y)$ and we have taken $f(u,v)=u(v-1)-12$, $g(u,v)=16-uv$. What is represented is the minimum of $u(x,y,t)$, in black, and its maximum, in red.

Structures de Turing

Chazottes Jean-René , Monticelli Marc — 2013-06-10T14:23:45Z

Alan Turing a éte le premier à proposer un modèle rendant compte de la très grande diversité des motifs dans la nature, comme par exemple les pelages d'animaux. Ce modèle est basé sur des équations de type "réaction-difusion".

$\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t}=f(u,v)+A \nabla^2 u\\\frac{\partial v}{\partial t}=g(u,v)+B \nabla^2 v\end{cases}$

où $u(x,y,t)$ est la concentration au point $(x,y)$, à l'instant $t$, de l'activateur (qui colore la peau) et $v(x,y,t)$ est celle du diffuseur (qui permet la diffusion de l'activateur). Les coefficients positifs $A,B$ sont les coefficients de diffusion.

Dans cette expérience numérique, on a une portion du plan $(x,y)$ et on a pris $f(u,v)=u(1-v)-12$, $g(u,v)=16-uv$. Ce qui est représenté est le minimum de $u(x,y,t)$, en noir, et son maximum, en rouge.

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