Experimentarium Digitale

Lorenz attractor

Chazottes Jean-René , Monticelli Marc — 2022-03-09T22:11:00Z

To study the possibly complicated behavior of three-dimensional systems, there is no better place to begin than with the famous model proposed by Lorenz in 1963. Before this model appeared, the only types of stable attractors known in differential equations were fixed points and closed trajectories. This model illustrates in particular the sensitive dependence on intial conditions, also known by the large public as the 'butterfly effect' (an expression coined by Lorenz himself).

The Lorenz system is given by the equations

$$ \begin{cases} \dot{x} = \sigma (y-x)\\ \dot{y}=\rho x-y -xz\\ \dot{z}=xy-\beta z \end{cases} $$

where $\sigma,\rho$ and $\beta$ are positive parameters. The 'historical values' (those used by Lorenz in his paper) are $\sigma=10$, $\beta=8/3$ et $\rho=28$.

Explaining how Lorenz got his equations would lead us away. We content ourselves with a few words. Lorenz was interested in setting up a simple model that would explain some of the unpredictable behavior of the weather.

Physical sensible models of atmospheric convection involve partial differential equations, and are extremely complicated to analyze. Lorenz sought a much simpler system. He considered a two-dimensional fluid cell that was heated from below and cooled from above. In Fourier modes, the fluid motion can be described by a system of differential equations involving infinitely many variables. Lorenz made a tremendous simplification by keeping only three variables !

Very roughly speaking, $x$ represents the rate of convective 'overturning', whereas $y$ and $z$ can be thought as the horizontal and vertical temperature, respectively. Notice that $x,y,z$ are thus not representing the position of a point in the ambient space, but instead an abstract three-dimensional phase space.

Regarding the three parameters, $\sigma$ is the Prandtl number (related to the fluid viscosity), $r$ is the Rayleigh number (related to the temperature difference between the top and bottom of the cell, and $b$ is a scaling factor (related to the aspect ratio of the rolls).

In the following digital experiment, you can move the orange bullet which represent the initial condition and then press the 'start' button. You can observe that solutions that start out very differently seem to have the same fate, if we forget the 'transient behavior'. They both eventually wind around the symmetric pair of fixed points, alternating at times which point they encircle. This forms a complicated set, the so-called Lorenz attractor, on which solutions stay for ever.

The previous experiment can be misleading because it can leave the impression that if you start with two very close initial conditions, the resulting solutions travel very close to each other, before they get on the attractor but also once they are on it. The following experiment shows that this is false ! This time you can see how to initially close points evolve on the attractor.

You can observe that the two solutions move quite far apart during their journey around the attractor. Moreover, you can see that the trajectories are nearly identical for a certain time period, but then they differ significantly as one solution winds around one of the symmetric fixed points, while the other solution winds around the other one. No matter how close two solutions start, they always move apart in this manner when they are on the attractor. This is sensitive dependence on initial conditions, one of the main features of a chaotic system.

Moreover, we observe that solutions pass from one 'lobe' of the attractor to the other in an apparently unpredictable manner, leading to an irregular oscillation that never repeats : we have an aperiodic motion. This is called deterministic chaos because the equations are deterministic but the solutions can behave in a seemingly random way. Recall that 'deterministic' means, given the present state, the future (and the past) are completely determined. Mathematically, this means that, given an initial condition $(x_0,y_0,z_0)$, there is a unique solution $(x(t),y(t),z(t))$ passing through $(x_0,y_0,z_0)$ at time $t=0$. But, to predict the future evolution, we need to know exactly the initial condition, which is impossible in practice. In a chaotic system, this leads to unpredictability. To illustrate this, consider a tiny blob if initial conditions around $(x_0,y_0,z_0)$. We observe that, rapidly, this blob smears out over the entire attractor ! This means that a tiny error on the initial condition is amplified quickly in such a way that we only know that we are on the attractor, but we don't know precisely where.

Voir en ligne : Attracteur de Lorenz en 3D

Turing patterns

Chazottes Jean-René , Monticelli Marc — 2022-02-10T16:43:25Z

Alan Turing was the first to propose a model to account for the very large diversity of patterns in nature, such as animal coats. This model is based on a “reaction-difusion equation” of the form(*)

$\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t}=f(u,v)+A \nabla^2 u\\\frac{\partial v}{\partial t}=g(u,v)+B \nabla^2 v\end{cases}$

where $u(x,y,t)$ is the concentration at point $(x,y)$ and at time $t$ of the activator (which color the skin), and $v(x,y,t)$ is that of the inhibitor (which prevents the activator from being expressed). The positive coefficients $A,B$ are the diffusion coefficients.

In the digital experiment below, we have a portion of the plan $(x,y)$ and we have taken $f(u,v)=u(v-1)-12$, $g(u,v)=16-uv$. What is represented is the minimum of $u(x,y,t)$, in black, and its maximum, in red.

Équation aux Dérivées Partielles Stochastique 2D

Berglund Nils , Monticelli Marc — 2014-11-19T00:23:17Z

Une équation aux dérivées partielles stochastique, ou EDPS, décrit l'évolution dans l'espace et dans le temps d'un champ soumis à un terme aléatoire. Dans le cas de l'équation d'Allen—Cahn, ce champ peut représenter la densité d'atomes de deux types différents dans un alliage, ou encore l'aimantation d'un matériau magnétique.

L'équation d'Allen—Cahn en dimension $2$ pour le champ $u(t,x,y)$ s'écrit $\dot u = k \Delta u + u - u^3 + b \xi$.
Le terme $k \Delta u$ (Laplacien par rapport aux variables spatiales $x$ et $y$) décrit le couplage entre atomes voisins, et tend à aplatir le profil $u$. Le terme $u - u^3$ représente la tendance de l'alliage vers l'un des états stables $+1$ ou $-1$. Enfin le terme $\xi$, appelé bruit blanc espace-temps, est un terme aléatoire décrivant l'agitation thermique.

Cette équation montre le phénomène de séparation de phase (« coarsening ») : les régions de phase $+1$ et $-1$ tendent à s'épaissir au cours du temps. Ce phénomène est plus marqué plus $k$ et grand, et s'accélère lorsque l'intensité du bruit augmente.

Pour plus de détails, lire l'article de Nils Berglund sur Image des maths.

Voir en ligne : Équation aux_Dérivées Partielles_Stochastique 2D

Équation aux Dérivées Partielles Stochastique 1D

Berglund Nils , Monticelli Marc — 2014-11-18T18:48:30Z

L'équation d'Allen—Cahn pour le champ $u(t,x)$ s'écrit $\dot u = k u'' + u - u^3 + b \xi$.
Le terme $k u''$ (dérivée seconde par rapport à $x$) décrit le couplage entre atomes voisins, et tend à aplatir le profil $u$. Le terme $u - u^3$ représente la tendance de l'alliage vers l'un des états stables $+1$ ou $-1$. Enfin le terme $\xi$, appelé bruit blanc espace-temps, est un terme aléatoire décrivant l'agitation thermique.

Pour plus de détails, lire l'article de Nils Berglund sur Image des maths.

Voir en ligne : Équation aux_Dérivées Partielles_Stochastique 1D

Le cadran d'Alberti, ancêtre d'Enigma

Monticelli Marc — 2014-04-18T14:39:26Z

Version beta

Voici une simulation de roue de chiffrement qui reprend le principe du cadran d'Alberti datant du XVe siècle et qui est à la base de la machine Enigma utilisée par les Allemands durant la seconde guerre mondiale pour crypter leur communication. Enigma fut au cœur d'une guerre de l'intelligence pour casser son code.

Ce dispositif de chiffrement est composé de deux éléments :

un grand cadran comportant l'alphabet dans l'ordre ;
un petit cadran qui peut tourner - qu'on nommera roue - comportant un alphabet dans le désordre.

Pour crypter un message :

1 - Tournez la roue dans une position de départ (nous utiliserons le repère visuel de la roue pour savoir sur quelle lettre du grand cadran elle a été positionnée. Cela nous donnera notre clef de cryptage.)
2 - Cherchez la première lettre de votre texte à coder sur le grand cadran, et remplacer là par la lettre correspondante sur la roue.
3 - Tourner d'un cran la roue dans le sens horaire.
4- Répétez les étapes 2 et 3 pour chacune des lettres dans l'ordre.

Vous pouvez changer le chiffrement en générant aléatoirement une nouvelle répartition des lettres.
Constatez que si vous tapez tout ou une partie de l'alphabet dans l'ordre « ...CDEFGHIJ... », vous obtenez un texte crypté avec une seule lettre.

NB : La « lenteur » de saisie entre deux caractères est voulue afin de montrer l'animation de chiffrement.

Pour intégrer cette simulation dans vos propres pages web :

Voir en ligne : Le cadran d Alberti_grand père d Enigma

Calcul de $\pi$ avec des aiguilles et un parquet

Chazottes Jean-René , Monticelli Marc — 2013-09-26T12:28:49Z

En 1733, Buffon se pose la question suivante : si on jette au hasard une aiguille sur un parquet, quelle est la probabilité $P$ qu'elle chevauche une rainure séparant deux lattes adjacentes ? Si $a$ est la longueur d'une aiguille et $\ell$ la largeur d'une latte, on trouve $P=2a/\pi \ell$. (On suppose que $a\leq \ell$.)
En 1812, Laplace propose de calculer expérimentalement $\pi$ en invoquant la loi des grands nombres : le nombre d'aiguilles $k$ qui chevauchent une rainure divisé par le nombre total $n$ d'aiguilles lancées tend vers $P$ lorsque le nombre de lancés tend vers l'infini. Il propose donc l'estimateur $2na/\ell k$ en remplaçant $P$ par $k/n$ dans la formule de Buffon.
Cet exemple est l'ancêtre de la méthode de Monte Carlo, à savoir estimer une quantité déterministe en utilisant des tirages aléatoires. L'expérience de Buffon-Laplace a été réalisée avec de vraies aiguilles. Ici nous la faisons avec une expérience numérique interactive.

Version Beta - Si vous rencontrez un problème, rechargez la page

Code HTML pour intégrer cette simulation dans vos pages :

Voir en ligne : Calcul de Pi_avec des aiguilles_et un parquet

Structures de Turing

Chazottes Jean-René , Monticelli Marc — 2013-06-10T14:23:45Z

Alan Turing a éte le premier à proposer un modèle rendant compte de la très grande diversité des motifs dans la nature, comme par exemple les pelages d'animaux. Ce modèle est basé sur des équations de type "réaction-difusion".

$\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t}=f(u,v)+A \nabla^2 u\\\frac{\partial v}{\partial t}=g(u,v)+B \nabla^2 v\end{cases}$

où $u(x,y,t)$ est la concentration au point $(x,y)$, à l'instant $t$, de l'activateur (qui colore la peau) et $v(x,y,t)$ est celle du diffuseur (qui permet la diffusion de l'activateur). Les coefficients positifs $A,B$ sont les coefficients de diffusion.

Dans cette expérience numérique, on a une portion du plan $(x,y)$ et on a pris $f(u,v)=u(1-v)-12$, $g(u,v)=16-uv$. Ce qui est représenté est le minimum de $u(x,y,t)$, en noir, et son maximum, en rouge.

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Tas de sable abélien

Chazottes Jean-René , Monticelli Marc — 2013-05-23T17:18:33Z

Le modèle de « tas de sable abélien » a été proposé en 1987 par les physiciens Bak, Tang et Wiesenfeld comme le paradigme de la « criticalité auto-organisée ». C'est le physicien théoricien Deepak Dhar qui, en 1990, en a commencé l'étude mathématique.
Plus de détails sur ce modèle se trouvent cet article en ligne.
Il existe également un ebook sur ce sujet (format iBook, donc lisible sous iOS et OSX Mavericks ou Yosemite).

Code HTML pour intégrer cette simulation dans vos pages :


		Voir en ligne : Tas de_sable abélien