Experimentarium Digitale

Lorenz attractor

Chazottes Jean-René , Monticelli Marc — 2022-03-09T22:11:00Z

To study the possibly complicated behavior of three-dimensional systems, there is no better place to begin than with the famous model proposed by Lorenz in 1963. Before this model appeared, the only types of stable attractors known in differential equations were fixed points and closed trajectories. This model illustrates in particular the sensitive dependence on intial conditions, also known by the large public as the 'butterfly effect' (an expression coined by Lorenz himself).

The Lorenz system is given by the equations

$$ \begin{cases} \dot{x} = \sigma (y-x)\\ \dot{y}=\rho x-y -xz\\ \dot{z}=xy-\beta z \end{cases} $$

where $\sigma,\rho$ and $\beta$ are positive parameters. The 'historical values' (those used by Lorenz in his paper) are $\sigma=10$, $\beta=8/3$ et $\rho=28$.

Explaining how Lorenz got his equations would lead us away. We content ourselves with a few words. Lorenz was interested in setting up a simple model that would explain some of the unpredictable behavior of the weather.

Physical sensible models of atmospheric convection involve partial differential equations, and are extremely complicated to analyze. Lorenz sought a much simpler system. He considered a two-dimensional fluid cell that was heated from below and cooled from above. In Fourier modes, the fluid motion can be described by a system of differential equations involving infinitely many variables. Lorenz made a tremendous simplification by keeping only three variables !

Very roughly speaking, $x$ represents the rate of convective 'overturning', whereas $y$ and $z$ can be thought as the horizontal and vertical temperature, respectively. Notice that $x,y,z$ are thus not representing the position of a point in the ambient space, but instead an abstract three-dimensional phase space.

Regarding the three parameters, $\sigma$ is the Prandtl number (related to the fluid viscosity), $r$ is the Rayleigh number (related to the temperature difference between the top and bottom of the cell, and $b$ is a scaling factor (related to the aspect ratio of the rolls).

In the following digital experiment, you can move the orange bullet which represent the initial condition and then press the 'start' button. You can observe that solutions that start out very differently seem to have the same fate, if we forget the 'transient behavior'. They both eventually wind around the symmetric pair of fixed points, alternating at times which point they encircle. This forms a complicated set, the so-called Lorenz attractor, on which solutions stay for ever.

The previous experiment can be misleading because it can leave the impression that if you start with two very close initial conditions, the resulting solutions travel very close to each other, before they get on the attractor but also once they are on it. The following experiment shows that this is false ! This time you can see how to initially close points evolve on the attractor.

You can observe that the two solutions move quite far apart during their journey around the attractor. Moreover, you can see that the trajectories are nearly identical for a certain time period, but then they differ significantly as one solution winds around one of the symmetric fixed points, while the other solution winds around the other one. No matter how close two solutions start, they always move apart in this manner when they are on the attractor. This is sensitive dependence on initial conditions, one of the main features of a chaotic system.

Moreover, we observe that solutions pass from one 'lobe' of the attractor to the other in an apparently unpredictable manner, leading to an irregular oscillation that never repeats : we have an aperiodic motion. This is called deterministic chaos because the equations are deterministic but the solutions can behave in a seemingly random way. Recall that 'deterministic' means, given the present state, the future (and the past) are completely determined. Mathematically, this means that, given an initial condition $(x_0,y_0,z_0)$, there is a unique solution $(x(t),y(t),z(t))$ passing through $(x_0,y_0,z_0)$ at time $t=0$. But, to predict the future evolution, we need to know exactly the initial condition, which is impossible in practice. In a chaotic system, this leads to unpredictability. To illustrate this, consider a tiny blob if initial conditions around $(x_0,y_0,z_0)$. We observe that, rapidly, this blob smears out over the entire attractor ! This means that a tiny error on the initial condition is amplified quickly in such a way that we only know that we are on the attractor, but we don't know precisely where.

Voir en ligne : Attracteur de Lorenz en 3D

Fonction de Liapounov pour le pendule simple

Chazottes Jean-René , Monticelli Marc — 2015-09-18T13:31:21Z

Modèle de compétition cyclique entre trois populations

Chazottes Jean-René , Monticelli Marc — 2015-06-19T13:13:05Z

May et Leonard ont étudié un modèle mettant en jeu trois populations qui sont en compétition de telle sorte que, cycliquement, l'une des trois populations semble dominer pendant une longue période de temps les deux autres avant que cela soit soudainement au tour de l'une des deux autres, et ainsi de suite. Qui plus est, la période durant laquelle l'une des populations semble dominer devient de plus en plus à chaque cycle. Voici les équations gouvernant l'évolution de la densité des trois populations :

$$ \begin{cases} \dot{x}_1 = x_1(1-x_1-\alpha x_2 -\beta x_3)\\ \dot{x}_2 = x_2(1-\beta x_1- x_2 -\alpha x_3)\\ \dot{x}_3 = x_3(1-\alpha x_1-\beta x_2 - x_3) \end{cases} $$

où $0<\beta <1$ et $\alpha+\beta\geq 2$. Lorsque $\alpha+\beta=2$, on peut observer un cycle limite qui va être détruit dès qu'on dépasse la valeur $2$.
Le phénomène remarquable est que les solutions convergent rapidement vers une surface triangulaire légèrement incurvée et qu'on appelle le « simplexe de charge ». Les sommets de ce « triangle » sont en fait les trois points fixes non triviaux, à savoir $\bar{x}_1=1,\bar{x}_2=0,\bar{x}_3=0$, $\bar{x}_1=0,\bar{x}_2=1,\bar{x}_3=0$ et $\bar{x}_1=0,\bar{x}_2=0,\bar{x}_3=1$. Le premier correspond à la domination complète de la population no. 1, le second à celle de la population no. 2, et le troisième à celle de la population no. 3.

Le « triangle » qu'on observe est un exemple de « cycle hétérocline ». C'est un phénomène générique pour des équations différentielles qui possèdent certaines symétries. Ici, nous avons une symétrie par permutation circulaire.

Circuit chaotique de Chua

Chazottes Jean-René , Monticelli Marc — 2015-06-19T13:07:29Z

Chua a inventé en 1983 un circuit électronique qui peut présenter du chaos. Cela donne les équations suivantes :

$$ \begin{cases} \dot{x}=a(y-x-g(x))\\ \dot{y}=x-y+z\\ \dot{z} = -by \end{cases} $$

où $a,b$ sont des paramètres. La fonction $g$ a la forme suivante :

$$ g(x)=cx+\frac{1}{2} (d-c)\big(|x+1|-|x-1|\big) $$

où $c,d$ sont des paramètres. Les valeurs des paramètres sont ici : $a=15$, $b=25.58$, $c=-5/7$, and $d=-8/7$. On peut observer un "double-scroll attractor" (littéralement, attracteur « double-molette »).

Attracteur étrange avec une structure spirale

Chazottes Jean-René , Monticelli Marc — 2015-06-19T13:04:14Z

Arnéodo, Coullet et Tresser ont proposé en 1981 le modèle suivant :

$$ \begin{cases} \dot{x}=y\\ \dot{y}=z\\ \dot{z} = ax-by-z-cx^3 \end{cases} $$

où $a,b,c$ sont des paramètres positifs. Par rapport aux autres attracteurs étranges connus, il présente une structure spirale remarquable qu'on peut observer dans l'expérience numérique interactive suivante où $a=5,5$, $b=3,5$ et $c=1$. On peut déplacer la condition initiale (boule jaune), zoomer et faire pivoter l'attracteur.

Attracteur de Rössler

Chazottes Jean-René , Monticelli Marc — 2015-06-19T12:47:30Z

Rössler a proposé le système d'équations différentielles suivant :

$$ \begin{cases} \dot{x} & = -y-z\\ \dot{y} & = x+ay\\ \dot{z} & = b+z(x-c) \end{cases} $$

où $a,b,c$ sont des paramètres. Son but était de trouver les équations les plus simples possibles pouvant produire un attracteur étrange pour certains paramètres. Ces équations sont en effet plus simples que celles de Lorenz car il y a un seul terme non-linéaire !

Dans l'expérience numérique interactive ci-dessous, on fixe $a=b=0.2$. On peut manipuler l'attracteur de Rössler en 3D et aussi jouer avec le paramètre $c$ pour observer notamment des régimes périodiques (cycles limites). En fait, on peut observer une « cascade de doublement de période » conduisant au chaos en partant des petites valeurs de $c$. On pourra consulter cet article en ligne pour plus de détails.

Modèle deux proies - un prédateur

Chazottes Jean-René , Monticelli Marc — 2014-09-25T15:46:51Z

MAJ 3/06/2015 : nécessite WebGL

On considère un modèle où deux populations, l'une de densité $x$, l'autre de densité $y$, sont en compétition (voir cette expérience numérique interactive). Il y a en plus une troisième population, de densité $z$, qui exerce sa prédation sur ces deux populations.

Pour certaines valeurs des paramètres, la dynamique de ces trois populations conduit à un attracteur complexe, du même genre que celui du modèle de Lorenz. Voici les équations :

$$ \begin{cases} \dot{x} & = x(1-x-y-10z)\\ \dot{y} & = y(1-1.5x-y-z)\\ \dot{z} & = z(-1+5x+0.5y-0.01z) \end{cases} $$

Vous pouvez manipuler en 3D l'attracteur :