Experimentarium Digitale

Illustration de la loi des grands nombres

Chazottes Jean-René , Monticelli Marc — 2015-07-08T16:44:35Z

La « loi des grands nombres » est l'un des théorèmes fondamentaux de la théorie des probabilités. Prenons des variables aléatoires réelles indépendantes $X_1,X_2,\ldots$ qui ont toutes la même loi et telles que $\mathbb{E}(|X_1|)$ est fini. Dans sa version la plus forte, la loi des grands nombres affirme que

$$ \mathbb{P}\left(\lim_{n\to\infty} \frac{S_n}{n}=\mathbb{E}(X_1)\right)=1 $$

où $S_n=X_1+\cdots + X_n$.
Concrètement, si on a une réalisation $x_1,\ldots,x_n$ des variables aléatoires $X_1,\ldots, X_n$ alors

$$ \frac{x_1+\cdots+x_n}{n}\approx \mathbb{E}(X_1), $$

l'approximation étant d'autant meilleure que le nombre $n$ de tirages est grand. Autrement dit, la moyenne empirique (qui est aléatoire) fluctue de moins en moins quand $n$ augmente pour tendre vers une constante (c-à-d une quantité non aléatoire). Cette constante est l'espérance des $X_i$, c-à-d $\mathbb{E}(X_1)$. Toutes les réalisations typiques ont la même moyenne asymptotique.

L'expérience numérique interactive qui suit illustre la loi des grands nombres en permettant de varier le nombre de tirages ($n$), le nombre de réalisations, et la loi commune des $X_i$. Elle illustre aussi ce que l'hypothèse que $\mathbb{E}(|X_1|)<\infty$ est nécessaire pour que la convergence ait lieu. On prend pour cela la loi de Cauchy.

Plus de détails.
Lorsqu'on simule une variable aléatoire avec un ordinateur, on obtient une valeur différente, qu'on appelle une réalisation, chaque fois qu'on appelle le générateur pseudo-aléatoire. Pour chaque $n$, on génère une réalisation de $X_1,\ldots,X_n$, donc de $S_n/n$, en appelant $n$ fois le générateur.
La loi de Bernoulli : les $X_i$ prennent soit la valeur $1$ avec probabilité $p$, soit la valeur $0$ avec probabilité $1-p$. On a
$\mathbb{E}(X_1)=p$.
Loi exponentielle : les $X_i$ sont à valeurs dans $\mathbb{R}^+$ et ont pour densité de probabilité la fonction $f(x)=\lambda e^{-\lambda x} \mathbb{1}_{x\geq 0}$ où $\lambda>0$ est un paramètre. On a $\mathbb{E}(X_1)=1/\lambda$. Ici on a prend $\lambda=1$.
Loi de Cauchy : les $X_i$ sont à valeurs dans $\mathbb{R}$ et ont pour densité la fonction $f(x)=\frac{1}{\pi(1+x^2}$.
Dans ce cas on a $\mathbb{E}(|X_1|)=\infty$ ($\mathbb{E}(X_1)$ n'est pas défini).

Calcul de $\pi$ avec des aiguilles et un parquet

Chazottes Jean-René , Monticelli Marc — 2013-09-26T12:28:49Z

En 1733, Buffon se pose la question suivante : si on jette au hasard une aiguille sur un parquet, quelle est la probabilité $P$ qu'elle chevauche une rainure séparant deux lattes adjacentes ? Si $a$ est la longueur d'une aiguille et $\ell$ la largeur d'une latte, on trouve $P=2a/\pi \ell$. (On suppose que $a\leq \ell$.)
En 1812, Laplace propose de calculer expérimentalement $\pi$ en invoquant la loi des grands nombres : le nombre d'aiguilles $k$ qui chevauchent une rainure divisé par le nombre total $n$ d'aiguilles lancées tend vers $P$ lorsque le nombre de lancés tend vers l'infini. Il propose donc l'estimateur $2na/\ell k$ en remplaçant $P$ par $k/n$ dans la formule de Buffon.
Cet exemple est l'ancêtre de la méthode de Monte Carlo, à savoir estimer une quantité déterministe en utilisant des tirages aléatoires. L'expérience de Buffon-Laplace a été réalisée avec de vraies aiguilles. Ici nous la faisons avec une expérience numérique interactive.

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Convergence de la Fonction de Répartition Empirique

Chazottes Jean-René , Monticelli Marc — 2013-09-26T12:24:10Z

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Loi des grands nombres et théorème limite central

Chazottes Jean-René , Monticelli Marc — 2013-07-04T10:19:48Z

On tire des variables aléatoires $X_1,X_2,\ldots$ indépendantes et de même loi. On calcule la somme $S_n$ des $n$ premières ($S_n=X_1+X_2+\cdots+X_n$).
On considère deux exemples dans l'expérience ci-dessous :
ou bien chaque $X_k$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p\in[0,1]$, c.à-d. $\mathbb{P}(X_k=1)=p$ et $\mathbb{P}(X_k=0)=1-p$ ;
ou bien chaque $X_k$ suit une loi exponentielle de paramètre 1 : $\mathbb{P}(X_k\leq x)=1-e^{-x}$.
La loi des grands nombres nous dit qu'avec probabilité un, $S_n/n$ converge vers la moyenne $m$ de $X_k$ qui vaut $p$ dans le cas de la loi de Bernoulli et 1 dans le cas de la loi exponentielle.
Dans la partie supérieure de l'expérience numérique interactive ci-dessous, on peut calculer $S_n/n$ en fonction du nombre $n$ de tirages et du nombre de réalisations. (Dans le cas de la loi de Bernoulli, on peut également faire varier le paramètre $p$.)
On peut étudier la répartition des fluctuations de $S_n/n$ autour de $m$ : si on « zoome » par un facteur $\sqrt{n}$ la variable aléatoire $S_n/n-m$, le théorème de la limite centrale implique que la fonction de répartition de $\sqrt{n}(S_n/n -m)$ converge vers celle de la loi normale centrée de variance $\mathbb{E}(X_k^2)-\mathbb{E}(X_k)^2$. Elle vaut $p(1-p)$ dans le cas de la loi de Bernoulli et 1 dans le cas de la loi exponentielle.
Dans la partie inférieure de l'expérience numérique ci-dessous, on peut calculer $(S_n-nm)/\sqrt{n}$ en fonction du nombre de tirages et du nombre de réalisations. On visualise l'histogramme de $(S_n-nm)/\sqrt{n}$ qui approxime celui d'une loi normale lorsqu'il y a suffisamment de tirages et de réalisations.

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Intervalles de confiance

Chazottes Jean-René , Monticelli Marc — 2013-07-04T10:01:58Z

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Un article sur le sujet : Jean-Pierre Raoult, « Intervalle de confiance : pourquoi tant de défiance ? » — Images des Mathématiques, CNRS, 2014..

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Calcul de $\pi$ par pluie aléatoire

Chazottes Jean-René , Monticelli Marc — 2013-07-04T10:00:47Z

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Simulation d'une variable aléatoire à densité par la méthode du rejet

Benaych-Georges Florent , Chazottes Jean-René , Monticelli Marc — 2013-07-04T09:59:19Z

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Cette expérience numérique interactive est directement inspirée par une simulation imaginée et programmée en Scilab par Florent Benacyh-Georges. Elle a été réécrite ici en javascript et rendue interactive.

Illustration de la notion d'indépendance

Benaych-Georges Florent , Chazottes Jean-René , Monticelli Marc — 2013-07-04T09:58:36Z

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On tire des points en tirant indépendamment leur abscisse et leur ordonnée selon la loi gaussienne standard

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Simulation d'une variable aléatoire de fonction de répartition donnée

Chazottes Jean-René , Monticelli Marc — 2013-07-04T09:57:50Z

On veut simuler une variable aléatoire réelle $X$ connaissant sa fonction de répartition $F$. Par définition, $F(x)=\mathbb{P}(X\leq x)$. On peut montrer que la variable aléatoire $Y$ telle que $F(Y)=U$ a la même loi que $X$. C'est facile à vérifier quand $F$ est une fonction continue et strictement croissante.
Dans l'expérience numérique interactive suivante, nous illustrons cette méthode avec quatre fonctions de répartition différentes : une fonction ad hoc, celle d'une loi exponentielle de paramètre 0.25, celle d'une loi de Laplace standard et celle d'une loi de Gumbel standard. Pour chacune d'elles, on peut faire varier le nombre de tirages de variables aléatoires $U_i$ indépendantes et distribuées uniformément sur $[0,1]$. Chaque $U_i$ est tirée sur l'axe des ordonnées et donne un point sur l'axe des abscisses en calculant son image inverse $F^{-1}(U_i)$. Dans la fenêtre la plus basse, on visualise l'histogramme de la densité $f(x)=F'(x)$ pour vérifier qu'avec suffisamment de tirages on a correctement échantillonné la variable aléatoire $X$.

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Processus de poisson

Chazottes Jean-René , Monticelli Marc — 2013-06-28T19:25:11Z

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