Hénon's attractor

Chazottes Jean-René , Monticelli Marc — 2022-02-17T09:55:27Z

By playing with the parameters of the Lorenz equations and using a Poincaré section, Pomeau and Ibanez demonstrated the formation mechanism of a Smale horseshoe. Pomeau presented his work at a seminar attended by Michel Hénon who then conceived a very simple model of quadratic transformation of the plane which simulates, when a parameter varies, the mechanism of formation of a horseshoe: it is the famous Hénon model.

The model is defined as follows. Given $(x_0,y_0)$ in the place, one computes its orbit $(x_1,y_1),(x_2,y_2),...$ by successive iterations:

$$ \begin{cases} x_{n+1} =y_n+1-ax_n^2 \\ y_{n+1} =b x_n \end{cases} $$

where $a,b$ are parameters.

Numerical exploration of this model shows, for certain values of the parameters, the existence of a “strange attractor” which has a fractal structure. The values in Hénon's paper are $a=1.4$, $b=0.3$.
The fact that this attractor really exists, and is not just a numerical belief, remained an open problem until the late 1980s. It was in 1991 that Benedicks and Carleson first showed rigorously the existence of these attractors. Their theorem is a mathematical tour-de-force but does not cover the values of the parameters $a=1.4$ et $b=0.3$.

In the following interactive experiment, we run 100 initial points at the same time to generate the attractor faster.
By clicking in the plane you can zoom in to see more details of the strange attractor, when it appears.

HTML code to integrate this simulation into your pages :

L'attracteur de Hénon

Chazottes Jean-René , Monticelli Marc — 2013-05-22T13:48:28Z

En jouant sur les paramètres des équations de Lorenz et en utilisant une section de Poincaré, Pomeau et Ibanez mettent en évidence le mécanisme de formation d'un « fer à cheval » de S. Smale. Pomeau expose ses travaux lors d'un séminaire donné à l'Observatoire de la Côte d'Azur auquel assiste Michel Hénon.
Ce dernier propose alors un modèle très simple de tranformation quadratique du plan qui simule, lorsqu'un paramètre varie, le mécanisme de formation d'un fer à cheval : c'est le fameux modèle de Hénon.
La transformation est la suivante. On se donne $(x_0,y_0)$ dans le plan puis on définit sa trajectoire par récurrence :

$$ \begin{cases} x_{n+1} =y_n+1-ax_n^2 \\ y_{n+1} =b x_n \end{cases} $$

où $a,b$ sont des paramètres.

L'exploration numérique de ce modèle montre, pour certaines valeurs des paramètres, l'existence d'un « attracteur étrange » qui capture l'essentiel de la dynamique et qui possède une structure fractale.
Les valeurs « historiques » sont $a=1.4$, $b=0.3$.
Le fait que cet attracteur existe vraiment, et n'est pas seulement une croyance numérique, est resté un problème ouvert jusqu'à la fin des années 1980. C'est Benedicks et Carleson qui, les premiers, ont montré rigoureusement l'existence de tels objets en 1991. Leur théorème est un tour-de-force mathématique mais ne couvre pas les valeurs des paramètres $a=1.4$ et $b=0.3$.

Michel Hénon

Sur Image des Maths : http://images.math.cnrs.fr/Michel-Henon-et-le-systeme-de.html
Sur wikipedia : http://fr.wikipedia.org/wiki/Michel_Hénon
Interview : http://www.espace-turing.fr/Interview-de-Michel-Henon.html

Code HTML pour intégrer cette simulation dans vos pages :

Experimentarium Digitale

Hénon's attractor

L'attracteur de Hénon