Experimentarium Digitale

Un ballon rond ? Quelle drôle d'idée

LLM (IA) , Monticelli Marc — 2026-04-29T07:35:40Z

Note préliminaire — La question posée ici concerne le ballon de football traditionnel, formé de 12 pentagones et 20 hexagones (le célèbre icosaèdre tronqué). Les ballons modernes, qui adoptent depuis quelques années d'autres pavages de la sphère, soulèvent de nouveaux et très beaux problèmes géométriques qui méritent un futur article.

Une question qui semble innocente

Combien existe-t-il de ballons de foot ?

Reformulée comme un mathématicien : combien existe-t-il de façons d'agencer 60 sommets sur une sphère, en les reliant par des arêtes, de telle sorte qu'on obtienne des faces pentagonales et hexagonales, à raison de 3 arêtes par sommet ?

La réponse — surprenante — est 1812. Et le ballon de foot que vous connaissez, avec ses 12 pentagones noirs bien isolés, n'est qu'un seul de ces 1812 cas. Tous les autres existent et sont parfaitement valides du point de vue combinatoire, mais sont presque toujours « étranges » : leurs pentagones se collent les uns aux autres et déforment la sphère.

Vous pouvez parcourir les 1812 formes en 3D sur cette page

Le prétexte chimique : les fullerènes C60

En 1985, Harold Kroto, Robert Curl et Richard Smalley découvrent une nouvelle forme du carbone : une molécule en cage moléculaire de 60 atomes organisée comme un ballon de foot — le buckminsterfullerène, en hommage à Buckminster Fuller et ses dômes géodésiques. Prix Nobel 1996. Mais la même formule C60 peut donner naissance à d'autres molécules en cage de géométrie différente : ce sont les isomères du C60. C'est ici que les mathématiques prennent le pouvoir.

Une combinatoire à la Descartes-Euler

Pourquoi exactement 12 pentagones et 20 hexagones ? Quatre relations combinatoires suffisent à le démontrer.

(1) Descartes-Euler pour tout polyèdre convexe : $s - a + f = 2$ (s sommets, a arêtes, f faces).
(2) Décomposition : $p + h = f$, en notant p et h le nombre de pentagones et d'hexagones.
(3) 3-régularité (3 arêtes par sommet, chaque arête comptée deux fois) : $3s = 2a$.
(4) Double comptage par les faces (chaque arête sépare deux faces) : $5p + 6h = 2a$.

Puisqu'on veut $s = 60$, on tire successivement $a = 90$, $f = 32$, puis le système $p + h = 32$, $5p + 6h = 180$ donne :

$$h = 20, \quad p = 12$$

Toujours. Aucune liberté sur les nombres. Toute la liberté est dans l'agencement des 12 pentagones parmi les 32 faces, et c'est là qu'apparaissent les 1812 possibilités.

La règle des pentagones isolés (IPR)

Parmi ces 1812 isomères, un seul a la propriété que ses 12 pentagones sont deux à deux non adjacents : c'est l'Isolated Pentagon Rule, et c'est précisément le ballon de foot connu.

Les 1811 autres ont, par construction, des paires de pentagones adjacents. Ces couples créent localement une courbure forte qui rend ces molécules moins stables, ce qui explique pourquoi seul le buckyball IPR se forme spontanément en quantité dans la nature. Mais sur le plan purement mathématique, les 1812 sont à pied d'égalité.

Énumérer l'inénumérable

Comment construire les 1812 sans en oublier ni en compter deux fois ? Brinkmann, Goedgebeur et McKay (logiciel libre buckygen, 2012) procèdent par construction récursive :

On part du dodécaèdre (C20), le plus petit fullerène possible.
On lui applique des opérations d'expansion qui ajoutent typiquement 4 atomes : un coin de la cage formé par deux arêtes adjacentes est écarté, 4 nouveaux atomes s'insèrent dans la fente, et la cage se reconnecte localement.
À chaque étape on choisit parmi plusieurs expansions possibles. Pour éviter les doublons, l'algorithme ne retient qu'une forme canonique par isomère obtenu.
On répète jusqu'à 60 atomes.

Le résultat est un arbre de génération de 5770 nœuds, dont les feuilles sont les 1812 isomères de C60.

L'atelier physique et son pendant numérique

L'atelier « Un ballon rond ? Quelle drôle d'idée ! » propose de construire des fullerènes à la main, avec un kit fabriqué au fablab du Mathemarium : 12 pentagones et 20 hexagones aimantés.

Le premier défi : fabriquer le ballon de foot en respectant la règle IPR. Le défi suivant, plus ouvert : chercher d'autres fullerènes par arguments de regroupement et de symétrie. Que se passe-t-il si l'on partage les 12 pentagones en deux groupes de 6, formant deux calottes aux pôles ? En 4 + 4 + 4 (symétrie tétraédrique) ? En 2 + 5 + 5 ? Les tuiles aimantés permettent de tester très rapidement.

La simulation interactive ci-dessous est le pendant numérique de cette exploration. Là où l'atelier physique permet de construire quelques fullerènes particuliers par raisonnement, la simulation permet de naviguer dans l'arbre complet des 1812, y compris l'écrasante majorité d'isomères « ordinaires » sans symétrie remarquable, qu'aucun raisonnement manuel n'aurait atteints. Les coordonnées 3D sont calculées par une relaxation par ressorts (longueurs de liaison cibles, angles de pentagone à 108°, hexagone à 120°).

Mode d'emploi de la simulation

Boutons

Trois groupes : reset, navigation manuelle dans l'arbre, génération automatique.

⏮ Dodécaèdre : retour à la racine. Toujours actif.
← Ascendant : remonte d'une étape vers le fullerène plus petit dont l'actuel est dérivé.
Descendant ↘ : descend d'une étape en tirant aléatoirement parmi les expansions possibles (pondéré pour atteindre chacun des 1812 isomères avec probabilité uniforme).
Croissance auto → : enchaîne automatiquement jusqu'à un C60.
🎲 Au hasard : reset + croissance vers un C60 aléatoire.
Générer buckyball ⚽ : suit le chemin canonique vers l'unique isomère IPR.

Pause d'observation

À chaque clic manuel sur « Descendant », la simulation marque une pause avant de relaxer. Apparaissent alors :

Atomes rouges : les nouveaux insérés sur la coque.
Arêtes rouges : les nouvelles liaisons créées.
Pointillés gris : les liaisons coupées par l'expansion.

Pendant cette pause, deux outils :

↔ Comparer avant/après : bascule instantanément entre l'état d'avant l'expansion (parent) et celui d'après l'insertion (enfant non encore relaxé). On peut tourner la molécule librement entre deux clics pour observer le site d'expansion sous tous les angles.
▶ Lancer la relaxation : démarre la simulation des forces de ressorts. Les couleurs rouges s'estompent à l'arrivée sur un C60.

Affichage

Faces pleines : pentagones noirs, hexagones blancs, comme un vrai ballon de foot. Décocher pour voir le squelette atomes-arêtes seul.
Liste à droite : journal des étapes, avec le nombre de choix qui existaient à chaque embranchement (« 1 PARMI 5 » = 5 expansions canoniques possibles, l'aléa en a choisi une).

Pour voir le buckminsterfullerène (ballon rond)

Cliquez Générer buckyball ⚽. À l'inverse, pour voir un fullerène C60 « ordinaire » (ce que peuple l'espace combinatoire), cliquez plusieurs fois 🎲 Au hasard : vous verrez ces structures typiques où les pentagones forment des chaînes — une géométrie qui n'existe pas en nature mais domine numériquement.

Quand Ada Lovelace inventa la programmation un siècle avant les premiers ordinateurs

LLM (IA) , Monticelli Marc — 2026-02-11T11:23:33Z

La visualisation interactive ci-dessous reproduit le fonctionnement de la Note G écrite par Ada Lovelace constitant le tout premier programme informatique de l'histoire (plus de détails sous la visualisation). Vous pouvez suivre, opération par opération, le cheminement des données entre le Magasin et le Moulin, observer les boucles se dérouler, et voir le résultat B₈ = −1/30 émerger pas à pas.

Espace ou → : avancer d'une étape
← : reculer
A : lecture automatique
R : réinitialiser

Lien direct vers la visualisation

Qui est Ada Lovelace ?

Augusta Ada King, comtesse de Lovelace (1815–1852), est la fille du poète Lord Byron et d'Annabella Milbanke. Élevée dans les sciences par sa mère, Ada se passionne très tôt pour les mathématiques.

En 1833, à 17 ans, elle rencontre Charles Babbage, inventeur et mathématicien, qui travaille sur un projet visionnaire : la Machine Analytique, un calculateur mécanique programmable par cartes perforées, inspiré des métiers à tisser Jacquard, un siècle avant les premiers ordinateurs.

Ada saisit immédiatement la portée de l'invention. Là où Babbage voit un calculateur, elle voit un instrument capable de manipuler tout ce qui peut être exprimé par des symboles — nombres, musique, logique. Elle écrit dans la Note A : « La Machine Analytique tisse des motifs algébriques tout comme le métier Jacquard tisse des fleurs et des feuilles ».

La Note G : le premier programme

En 1843, Ada traduit de l'italien un article de Luigi Menabrea décrivant la Machine Analytique. Elle y ajoute sept notes (A à G), trois fois plus longues que l'article original. La dernière, la Note G, contient ce qui est aujourd'hui considéré comme le premier programme informatique de l'histoire.

Ce programme calcule les nombres de Bernoulli, une suite de fractions qui apparaissent dans de nombreux domaines des mathématiques — séries, théorie des nombres, sommes de puissances d'entiers.

Ada choisit délibérément un cas complexe pour démontrer la puissance de la Machine : « Nous terminerons ces Notes en suivant en détail les étapes par lesquelles la machine pourrait calculer les Nombres de Bernoulli, ceci étant un exemple assez compliqué de ses capacités ».

Un algorithme complet et moderne

Le programme de la Note G n'est pas un simple calcul séquentiel. Il introduit des concepts fondamentaux de la programmation :

Boucles imbriquées — des opérations qui se répètent selon un compteur, un concept absent de toute machine de l'époque
Variables et mémoire — plusieurs « colonnes » du Magasin, numérotées V1 à V24, jouant le rôle de registres
Récursivité — chaque nombre de Bernoulli est calculé à partir des précédents
Séparation code/données — les « cartes d'opération » (le programme) sont distinctes des « cartes de variables » (les données)

Le programme comporte 25 opérations distinctes, qui se déroulent en 36 étapes une fois les boucles déroulées. Il utilise les quatre opérations arithmétiques et un compteur de boucle stocké en V10.

La Machine Analytique : un ordinateur mécanique

La machine de Babbage, jamais construite de son vivant, comportait deux organes principaux :

Le Moulin (the Mill) — l'unité de calcul, équivalent de notre processeur. Il reçoit deux opérandes, exécute une opération (+, −, ×, ÷) et produit un résultat.
Le Magasin (the Store) — la mémoire, constituée de colonnes de roues dentées. Chaque colonne stocke un nombre de 50 chiffres décimaux.

Les données circulent entre le Magasin et le Moulin via des engrenages et des axes mécaniques. Le programme, lui, est encodé sur des cartes perforées — une idée empruntée aux métiers Jacquard.

La question de la convention

Un détail qui prête à confusion : Ada utilise une convention de numérotation différente de la nôtre pour les nombres de Bernoulli. Elle ne retient que les valeurs non triviales (en excluant B₀ et B₁ modernes) et les numérote avec des indices impairs :

Ada (1843)	Moderne	Valeur
B₁ (n=1)	B₂	1/6
B₃ (n=2)	B₄	−1/30
B₅ (n=3)	B₆	1/42
B₇ (n=4)	B₈	−1/30

Son programme, avec n=4, calcule donc ce qu'elle appelle « B₇ », qui correspond à notre B₈ = −1/30.

Un bug historique

Le programme contient un bug — probablement le premier de l'histoire du logiciel. À l'opération nº4, Ada écrit une division V5÷V4 alors qu'il faudrait V4÷V5 : les opérandes sont inversés. Probablement une erreur de typographie plutôt qu'une erreur logique d'Ada, car la colonne « Statement of Results » du même tableau montre bien le bon résultat (contenu de V4 divisé par contenu de V5).

Pour aller plus loin

Simulation réalisée d'après le diagramme original publié dans Scientific Memoirs, vol. III, 1843.

Modèle de Lozi (version en couleurs)

Chazottes Jean-René , Monticelli Marc , René Lozi — 2023-12-08T09:05:10Z

Le modèle de Lozi est un système dynamique à temps discret du plan dans lui-même : étant donné un point $(x_0,y_0)$ du plan, son évolution est donnée par

$$ \begin{cases} x_{n+1}= y_n+1-a|x_n|\\ y_{n+1}=bx_n \end{cases} $$

pour $n=0,1,2,\ldots$.Pour plus de détails sur ce modèle, voir cet article.

Ici, nous nous concentrons sur le cas $b=-1$ (cas conservatif). Quand on clique dans la vue, on démarre la trajectoire du point sélectionné avec une certaine couleur (tirée aléatoirement). Cela permet de mieux voir comment les structures se constuisent.

Modèle de Lozi

Chazottes Jean-René , Monticelli Marc , René Lozi — 2023-12-08T08:40:53Z

En 1977, René Lozi a introduit un système dynamique à temps discret du plan dans lui-même en remplaçant le terme quadratique du modèle de Hénon par une valeur absolue, ce qui donne une application affine par morceaux : étant donné un point $(x_0,y_0)$ du plan, son évolution est donnée par

$$ \begin{cases} x_{n+1}= y_n+1-a|x_n|\\ y_{n+1}=bx_n \end{cases} $$

pour $n=0,1,2,\ldots$.

Le modèle de Lozi est beaucoup plus simple à étudier mathématiquement que celui de Hénon tout en ayant la même richesse de comportements.

Quand $|b|<1$, la dynamique est dissipative dans le sens que si on prend une région du plan et qu'on l'itère, sa surface devient strictement plus petite. Pour certaines valeurs des paramètres, ce système dynamique a un attracteur étrange. En fait, Michal Misiurewicz a démontré que pour l'ensemble de paramètres suivant

$$ \Big\{ (a,b)\in \mathbb{R}^2 : b>0, a\sqrt{2} < b +2, 2a + b < 4 \Big\}, $$

on a bien un attracteur étrange.

Quand $|b|=1$, la dynamique est conservative : si on prend une région du plan et qu'on l'itère, cette fois-ci sa surface est inchangée (mais elle se déforme). Dans l'expérience numérique ci-dessous, on pourra constater l'extraordinaire structure du portrait de phase.

Une version en couleurs dans le cas conservatif se trouve là.

Attracteur de Plykin sur la sphère

Chazottes Jean-René , Monticelli Marc — 2022-09-16T06:52:49Z

S. Kuznetsov a proposé un système dynamique explicite donnant un attracteur de Plykin (qui est un attracteur hyperbolique). Ce système évolue sur la sphère unité.

On part d'une condition initiale qui est un point $\boldsymbol{x}_0=(x_0,y_0,z_0)$ qui satisfait $x_0^2+y_0^2+z_0^2=1$. Ensuite on définit son orbite par récurrence :

$$ \boldsymbol{x}_{n+1}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_n) :=\boldsymbol{f}_+(\,\,\boldsymbol{f}_-(\boldsymbol{x}_n)), \, n\geq 0 $$

où

$$ \boldsymbol{f}_{\pm}(\boldsymbol{x})= \begin{pmatrix} \pm z \\ \frac{y\, \mathrm{e}^{\frac{\varepsilon}{2}(x^2+y^2)} \cos\big(\frac{\pi}{2}(z\sqrt{2}+1)\big)\,\pm\, x\, \mathrm{e}^{-\frac{\varepsilon}{2}(x^2+y^2)} \sin\big(\frac{\pi}{2}(z\sqrt{2}+1)\big)}{\sqrt{\cosh( \varepsilon(x^2+y^2) +\varepsilon(y^2-x^2)\frac{\sinh(\varepsilon(x^2+y^2))}{\varepsilon(x^2+y^2)}}} \\ \frac{y\, \mathrm{e}^{\frac{\varepsilon}{2}(x^2+y^2)} \sin\big(\frac{\pi}{2}(z\sqrt{2}+1)\big)\,\mp\, x\, \mathrm{e}^{-\frac{\varepsilon}{2}(x^2+y^2)} \cos\big(\frac{\pi}{2}(z\sqrt{2}+1)\big)}{\sqrt{\cosh(\varepsilon(x^2+y^2)) +\varepsilon(y^2-x^2)\frac{\sinh(\varepsilon(x^2+y^2)}{\varepsilon(x^2+y^2)}}} \end{pmatrix}\cdot $$

Noeuds toriques

Maisonobe Philippe , Monticelli Marc — 2022-09-12T08:02:50Z

En cours d'écriture. Seule l'expérience numérique interactive est actuellement disponible.

Les suites de Barker

Eliahou Shalom , Monticelli Marc — 2022-03-21T11:06:00Z

La question considérée ici concerne des suites finies de +1 et −1 satisfaisant quelques conditions élémentaires. Elle est ouverte depuis plus de 60 ans.

Ronald Hugh Barker [1915 - 2015] était un physicien et ingénieur irlandais spécialisé dans la transmission des signaux.

En 1953, ses travaux sur des problèmes de synchronisation digitale l'ont conduit à poser une question mathématique d'apparence simple mais qui, plus de 70 ans après, résiste encore et toujours aux efforts de résolution des mathématiciens.

C'est ainsi que sont nées les suites de Barker, des suites finies de +1 et −1 satisfaisant certaines conditions décrites plus bas. Grâce à leurs propriétés mathématiques, les suites de Barker sont largement utilisées de nos jours dans les radars, en téléphonie mobile, pour le WiFi, le GPS etc. … (Lire l'article complet).

…

Pour tester facilement de nombreux exemples, voici un petit calculateur interactif d'auto-corrélations de suites binaires.

Par défaut, une suite binaire aléatoire de longueur n=10 s'affiche. Un clic sur une case change le signe de celle-ci. Les coefficients d'auto-corrélation c1,…,cn−1 de la suite sont alors automatiquement actualisés. C'est intéressant d'observer le changement induit sur ces coefficients par un seul petit changement de signe.

On dispose des contrôles suivants. Le curseur permet de varier la longueur n entre 2 et 16. Un premier bouton, alea, permet à chaque clic d'afficher une nouvelle suite binaire aléatoire de longueur n. On dispose aussi d'un bouton pour chacune des opérations rev, neg et alt, permettant ainsi de visualiser leur effet sur les coefficients d'auto-corrélation. Et enfin, les quatre derniers boutons permettent d'afficher certaines suites binaires spécifiques.

Voir en ligne : https://images.math.cnrs.fr/Connait...

Lorenz attractor

Chazottes Jean-René , Monticelli Marc — 2022-03-09T22:11:00Z

To study the possibly complicated behavior of three-dimensional systems, there is no better place to begin than with the famous model proposed by Lorenz in 1963. Before this model appeared, the only types of stable attractors known in differential equations were fixed points and closed trajectories. This model illustrates in particular the sensitive dependence on intial conditions, also known by the large public as the 'butterfly effect' (an expression coined by Lorenz himself).

The Lorenz system is given by the equations

$$ \begin{cases} \dot{x} = \sigma (y-x)\\ \dot{y}=\rho x-y -xz\\ \dot{z}=xy-\beta z \end{cases} $$

where $\sigma,\rho$ and $\beta$ are positive parameters. The 'historical values' (those used by Lorenz in his paper) are $\sigma=10$, $\beta=8/3$ et $\rho=28$.

Explaining how Lorenz got his equations would lead us away. We content ourselves with a few words. Lorenz was interested in setting up a simple model that would explain some of the unpredictable behavior of the weather.

Physical sensible models of atmospheric convection involve partial differential equations, and are extremely complicated to analyze. Lorenz sought a much simpler system. He considered a two-dimensional fluid cell that was heated from below and cooled from above. In Fourier modes, the fluid motion can be described by a system of differential equations involving infinitely many variables. Lorenz made a tremendous simplification by keeping only three variables !

Very roughly speaking, $x$ represents the rate of convective 'overturning', whereas $y$ and $z$ can be thought as the horizontal and vertical temperature, respectively. Notice that $x,y,z$ are thus not representing the position of a point in the ambient space, but instead an abstract three-dimensional phase space.

Regarding the three parameters, $\sigma$ is the Prandtl number (related to the fluid viscosity), $r$ is the Rayleigh number (related to the temperature difference between the top and bottom of the cell, and $b$ is a scaling factor (related to the aspect ratio of the rolls).

In the following digital experiment, you can move the orange bullet which represent the initial condition and then press the 'start' button. You can observe that solutions that start out very differently seem to have the same fate, if we forget the 'transient behavior'. They both eventually wind around the symmetric pair of fixed points, alternating at times which point they encircle. This forms a complicated set, the so-called Lorenz attractor, on which solutions stay for ever.

The previous experiment can be misleading because it can leave the impression that if you start with two very close initial conditions, the resulting solutions travel very close to each other, before they get on the attractor but also once they are on it. The following experiment shows that this is false ! This time you can see how to initially close points evolve on the attractor.

You can observe that the two solutions move quite far apart during their journey around the attractor. Moreover, you can see that the trajectories are nearly identical for a certain time period, but then they differ significantly as one solution winds around one of the symmetric fixed points, while the other solution winds around the other one. No matter how close two solutions start, they always move apart in this manner when they are on the attractor. This is sensitive dependence on initial conditions, one of the main features of a chaotic system.

Moreover, we observe that solutions pass from one 'lobe' of the attractor to the other in an apparently unpredictable manner, leading to an irregular oscillation that never repeats : we have an aperiodic motion. This is called deterministic chaos because the equations are deterministic but the solutions can behave in a seemingly random way. Recall that 'deterministic' means, given the present state, the future (and the past) are completely determined. Mathematically, this means that, given an initial condition $(x_0,y_0,z_0)$, there is a unique solution $(x(t),y(t),z(t))$ passing through $(x_0,y_0,z_0)$ at time $t=0$. But, to predict the future evolution, we need to know exactly the initial condition, which is impossible in practice. In a chaotic system, this leads to unpredictability. To illustrate this, consider a tiny blob if initial conditions around $(x_0,y_0,z_0)$. We observe that, rapidly, this blob smears out over the entire attractor ! This means that a tiny error on the initial condition is amplified quickly in such a way that we only know that we are on the attractor, but we don't know precisely where.

Voir en ligne : Attracteur de Lorenz en 3D

Bifurcation diagram of the logistic map

Chazottes Jean-René , Monticelli Marc — 2022-02-18T09:32:39Z

We presented the logistic map here and mentioned the bifurcation diagram that displays the different asymptotic behaviours of the orbits as a function of the parameter. Here you can "draw" it: Hold the mouse button down and ``scratch'' to make the diagram appearing. A double-click in the diagram produces a zoom in, which allows you to refine part of the diagram, and see its amazing structure.
The attractor is shown on the vertical line as $r$ varies on the horizontal axis.

Let us briefly explain how to compute this diagram.
Pick up values $r_1$, $r_2$,..., $r_N$, with $N=1000$ such that $r_{j+1}-r_j=0,005$. Then compute the orbit $(x_n)$ of, say, $x_0=0.5$ for each $r_j$. After $50$ iterations, we consider that transient phases are eliminated, that is, $(x_n)$ reached $0$, or became periodic, etc. We thus have a value $x_{50}$ for each $r_j$, denoted by $x_{50}(r_j)$. Finally, we plot $(r_j,x_{50}(r_j))$ for $j=1,2,\ldots,N$.

HTML code to integrate this simulation into your pages:

Turing patterns

Chazottes Jean-René , Monticelli Marc — 2022-02-10T16:43:25Z

Alan Turing was the first to propose a model to account for the very large diversity of patterns in nature, such as animal coats. This model is based on a “reaction-difusion equation” of the form(*)

$\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t}=f(u,v)+A \nabla^2 u\\\frac{\partial v}{\partial t}=g(u,v)+B \nabla^2 v\end{cases}$

where $u(x,y,t)$ is the concentration at point $(x,y)$ and at time $t$ of the activator (which color the skin), and $v(x,y,t)$ is that of the inhibitor (which prevents the activator from being expressed). The positive coefficients $A,B$ are the diffusion coefficients.

In the digital experiment below, we have a portion of the plan $(x,y)$ and we have taken $f(u,v)=u(v-1)-12$, $g(u,v)=16-uv$. What is represented is the minimum of $u(x,y,t)$, in black, and its maximum, in red.