Modèle de propagation épidémique & COVID-19

Monticelli Marc — 2020-03-23T07:02:08Z

Des résultats de simulations de mécanismes de propagation d'une épidémie ont été montrés dans les médias depuis le début de la crise COVID-19 en france.
Voici une expérience numérique interactive (ENI) inspirée du modèle présenté par le Washington-Post, ainsi que 2 autres plus bas sous la forme d'équations différentielles illustrants les modèles SIR et SEIR.
Ces simulations sont susceptibles d'évoluer au cours du temps.
Elles s'adressent plus particulièrement aux enseignants et médiateurs pour un travail pédagogique. Elles seront proposées prochainement dans un dossier sur « Image des maths » : « Modélisation d'une épidémie. Comment les maths aident à la prise de décision. ». Nous vous mettrons le lien dès qu'il sera en ligne.

Page avec la seule simulation pour les tablettes.

A lire également :

A model of spread of infectious diseases (Jean-René Chazottes & Marc Monticelli).
Prédiction du nombre de malades de COVID19 en fonction de la date de « confinement » en France (Bruno Marcos).
Exercices pour collégiens et lycéens sur le coronavirus / Transmission boulangère et électorale (Jacques Simon).
Si vous voulez savoir l'évolution d'une épidémie, vous avez besoin d'un modèle mathématique (Fernuando Peruani).

Le modèle SIR

« Le modèle SIR est un exemple de modèle à compartiments, c'est à dire que l'on divise la population en plusieurs catégories.
Pour une population donnée, on étudie la taille de trois sous-populations au cours du temps $t$ : $S(t)$ représente les personnes saines (susceptible) au temps $t$, $I(t)$ les personnes infectées infectieuses (infected), et $R(t)$ les personnes retirées (removed) ; $N=S(t)+I(t)+R(t)$ représente alors la population constante totale au cours du temps. Il convient de bien différencier les personnes saines des personnes retirées : les personnes saines n'ont pas encore été touchées par le virus, alors que les personnes retirées sont guéries, et donc immunisées. Autrement dit, les personnes retirées ne sont plus prises en compte. Par conséquent, le modèle SIR ne s'occupe pas directement de prédire la mortalité de l'épidémie, pour cela il faut un autre modèle : le modèle SEIR. »

… continuer la lecture sur image des maths (prochainement) : « Modélisation d'une épidémie. Comment les maths aident à la prise de décision - partie 1 » (Corentin Bayette).

Mathématiquement, le modèle SIR est donné par le système suivant :

$$ \begin{cases} \displaystyle \frac{dS(t)}{dt} &=& -\beta S(t)I(t))\\ \displaystyle \frac{dI(t)}{dt} &=& \beta S(t)I(t)-\gamma I(t)\\ \displaystyle \frac{dR(t)}{dt} &=& \gamma I(t) \displaystyle \end{cases} $$

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Le modèle SEIR

"Le modèle SEIR est un peu plus élaboré : il prend en compte trois hypothèses de plus que le modèle SIR, la démographie de la population en particulier. La population totale $N(t)$ évolue donc au cours du temps $t$. Voici l'évolution du modèle SIR vers le modèle SEIR :

Une nouvelle sous-population est ajoutée : les personnes infectées non-infectieuses (exposed), qui ne sont donc pas contagieuses, représentées par la fonction $E(t)$ ; ce qui permet de prendre en compte la durée d'incubation (via $\alpha$ le taux d'incubation) d'une maladie. En reprenant le schéma et le système du modèle SIR, et en ajoutant un terme $\pm \alpha E(t)$
Le taux de natalité $\nu$ de la population est aussi considéré. Les personnes sont supposées naître saines, on ajoute alors un terme $\nu N(t)$

Enfin, on complète avec l'ajout du taux de mortalité $\mu$ de la population. Une personne pouvant décéder quelque soit son état (S,E,I ou R), et de cause non liée avec l'épidémie, on retire donc ces personnes de chaque ligne (soit $-\mu S(t)$, soit $-\mu E(t)$, soit $-\mu I(t)$, soit $-\mu R(t)$ selon la sous-population considérée).

… continuez la lecture sur sur image des maths (prochainement) : « Modélisation d'une épidémie. Comment les maths aident à la prise de décision - partie 2 » (Corentin Bayette).

Le modèle SIER est donné par le système suivant :

$$ \begin{cases} \displaystyle \frac{dS(t)}{dt} &=& -\beta S(t)I(t)+\nu N(t)-\mu S(t)\\ \displaystyle \frac{dE(t)}{dt} &=& \beta S(t)I(t)-\alpha E(t)-\mu E(t)\\ \displaystyle \frac{dI(t)}{dt} &=& \alpha E(t)-\gamma I(t)-\mu I(t)\\ \displaystyle \frac{dR(t)}{dt} &=& \gamma I(t)-\mu R(t) \end{cases} $$

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Modèle SIR :

Modèle SEIR :

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Le modèle SIR

Le modèle SEIR