Experimentarium DigitaleCette simulation illustre la convergence de la fonction de répartition empirique dans le cas de variables aléatoires gaussiennes de moyenne $3$ et de variance $2$.
Plus précisément, on a des variables aléatoires $X_k\sim \mathcal{N}(0,1)$ indépendantes et pour chaque $x\in\mathbb{R}$, on définit
$$ F_n(x) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \mathbb{1}_{\{X_k\leq x\}}. $$
Le théorème de Glivenko-Cantelli affirme que
$$ \sup_{x\in\mathbb{R}} | F_n(x)-F(x)| \xrightarrow[]{n\to\infty} 0\quad \mathrm{presque \, sûrement} $$
où $F$ est la fonction de répartition commune des $X_k$ : $F(x)=P(X_k\leq x)$.
