Expérimentation Numérique Interactive

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Illustration de la loi des grands nombres

Rajouté le mercredi 8 juillet 2015
Chazottes Jean-René , Monticelli Marc

La « loi des grands nombres » est l’un des théorèmes fondamentaux de la théorie des probabilités. Prenons des variables aléatoires réelles indépendantes X1,X2, qui ont toutes la même loi et telles que E(|X1|) est fini. Dans sa version la plus forte, la loi des grands nombres affirme que

P(limnSnn=E(X1))=1


Sn=X1++Xn.
Concrètement, si on a une réalisation x1,,xn des variables aléatoires X1,,Xn alors

x1++xnnE(X1),


l’approximation étant d’autant meilleure que le nombre n de tirages est grand. Autrement dit, la moyenne empirique (qui est aléatoire) fluctue de moins en moins quand n augmente pour tendre vers une constante (c-à-d une quantité non aléatoire). Cette constante est l’espérance des Xi, c-à-d E(X1). Toutes les réalisations typiques ont la même moyenne asymptotique.

L’expérience numérique interactive qui suit illustre la loi des grands nombres en permettant de varier le nombre de tirages (n), le nombre de réalisations, et la loi commune des Xi. Elle illustre aussi ce que l’hypothèse que E(|X1|)< est nécessaire pour que la convergence ait lieu. On prend pour cela la loi de Cauchy.

Plus de détails.
Lorsqu’on simule une variable aléatoire avec un ordinateur, on obtient une valeur différente, qu’on appelle une réalisation, chaque fois qu’on appelle le générateur pseudo-aléatoire. Pour chaque n, on génère une réalisation de X1,,Xn, donc de Sn/n, en appelant n fois le générateur.
La loi de Bernoulli : les Xi prennent soit la valeur 1 avec probabilité p, soit la valeur 0 avec probabilité 1p. On a
E(X1)=p.
Loi exponentielle : les Xi sont à valeurs dans R+ et ont pour densité de probabilité la fonction f(x)=λeλx1x0λ>0 est un paramètre. On a E(X1)=1/λ. Ici on a prend λ=1.
Loi de Cauchy : les Xi sont à valeurs dans R et ont pour densité la fonction f(x)=1π(1+x2.
Dans ce cas on a E(|X1|)= (E(X1) n’est pas défini).