Le modèle de Rosenzweig-MacArthur

Le modèle proposé ici est la modification du modèle proie-prédateur de Volterra avec compétition entre proies. Ce qui change est le terme d’interaction entre proies et prédateurs : au lieu d’être proportionnel à $x(t)y(t)$, il est de la forme

$$ \frac{x(t)y(t)}{1+x(t)}. $$

Autrement dit, on remplace la fonction $x\mapsto x$ par la fonction $x\mapsto \frac{x}{1+x}$. Cette fonction tend vers $1$ lorsque $x$ devient très grand : le taux de prédation sature pour des densités de proies très grandes, ce qui est naturel.

Le modèle de Rosenzweig-McArthur s’écrit

$$ \begin{cases} \dot{x}= x\left(1-\frac{x}{\gamma}\right) - \frac{xy}{1+x}\\ \dot{y}= \beta y \left( \frac{x}{1+x}-\alpha\right) \end{cases} $$

où $\alpha, \beta,\gamma$ sont de paramètres positifs.

Voici l’expérience numérique interactive de ce modèle. Le point rouge représente l’équilibre ou la coexistence entre les la population des proies et celle des prédateurs. Outre le portrait d’état, il y a l’évolution de la population totale qui est la somme des fonctions $x(t)$ et $y(t)$.

La droite verticale en rouge est le lieu des points où $\dot{y}=0$. La courbe parabolique en rouge celui où $\dot{x}=0$. À leur intersection se trouve donc l’équilibre correspondant à la coexistence entre les proies et les prédateurs, qu’on note $(x^*,y^*)$. Cet équilibre disparaît si $\alpha$ devient trop grand. Un autre équilibre est présent quels que soient les valeurs des paramètres : c’est $(0,\gamma)$ qui correspond au cas de figure où il n’y a plus de prédateurs et la densité des proies vaut $\gamma$.

En expérimentant on se rend compte qu’il y a deux régimes qualitativement très différents lorsque l’équilibre $(x^*,y^*)$ existe. Le basculement d’un régime à l’autre se fait quand la droite verticale passe le sommet de la parabole.

• un régime est celui où l’équilibre $(x^*,y^*)$ attire toutes les solutions pourvu qu’on parte de densités initiales de proies et de prédateurs positives. Autrement dit, quand on perturbe le système en l’écartant de son équilibre, il revient à cet équilibre rapidement : la coexistence des deux populations est stable ;
• dans l’autre régime, on observe que l’équilibre $(x^*,y^*)$ est instable (répulsif) et qu’il apparaît une trajectoire fermée qui l’entoure et qui attire toutes les solutions avec des densités initiales de proies et de prédateurs positives différentes de $(x^*,y^*)$. Il s’agit d’un cycle limite. Cette trajectoire fermée correspond à des oscillations périodiques de $x(t)$ et $y(t)$ qui sont robustes.

Le passage d’un régime à l’autre s’appelle une bifurcation de Hopf dont l’exemple canonique est présenté ici.

Dans le cas où l’équilibre $(x^*,y^*)$ disparaît ($\alpha$ trop grand), il y a extinction des prédateurs et la densité des proies tend vers $\gamma$.

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