Un modèle de compétition entre deux populations

Le modèle présenté ici est le modèle le plus simple décrivant deux populations qui sont en compétition pour une ressource commune (nourriture, espace, etc).
On note $x(t)$ la densité de la population 1 et $y(t)$ la densité de la population 2. Le modèle s’écrit

$$ \begin{cases} \dot{x}=x(1-x-a_{12}y)\\ \dot{y}=\rho y(1-y-a_{21}x) \end{cases} $$

où $\rho, a_{12}$ et $a_{21}$ sont des paramètres positifs. Si la population 2 est absente, alors $xt(t)$ tend vers $1$ et vice-versa. Quand les deux populations sont présentes, chacune inhibe le développement de l’autre. L’impact (négatif) de la population 2 sur la population 1 est proportionnel à $x(t)y(t)$. Cet impact est mesuré par le coefficient $a_{12}$ qui représente la pression compétitive exercée sur la population 1 par la population 2. De même, l’impact de la population 1 sur la population 2 est mesuré par $a_{21}$.

Voici l’expérience numérique de ce modèle.

Compléments.

Il y a trois états d’équilibre qui sont toujours présents quelles que soient les valeurs des paramètres : $(0,0)$, $(1,0)$ et $(0,1)$. Le premier ne présente pas d’intérêt. Le second correspond au fait que seule la population 1 est présente et vice versa pour le troisième.

Un quatrième état d’équilibre existe sous certaines conditions : quand les droites d’équation $1-x-a_{12} y=0$ et $1-y-a_{12} x=0$ ont un point d’intersection qui se trouve dans le quart de plan positif. On l’appellera l’état d’équilibre « intérieur ». Selon les cas il peut être stable ou instable.Trois régimes qualitativement très différents sont observables selon les positions relatives de ces deux droites. 

Dans le cas où elles ne se coupent pas, l’état d’équilibre intérieur n’existe pas : la coexistence des deux populations est impossible car l’une des deux supplante l’autre qui s’éteint. Ceci advient pour n’importe quelles abondances initiales $(x_0,y_0)$ positives. 

Dans le cas où les droites se coupent, il y a deux régimes très différents : soit il y a convergence vers l’état d’équilibre intérieur, c-à-d coexistence des deux populations, pour n’importe quelles abondances initiales $(x_0,y_0)$ positives ; soit une population supplante l’autre mais cela dépend quelles sont les densités initiales des populations.
Plus précisément, on peut observer que le quart de plan positif se divise en deux régions complémentaires : l’une est le « bassin d’attraction » de l’état d’équilibre $(1,0)$ qui correspond au fait que la population 1 va finir par supplanter l’autre qui va s’éteindre ; l’autre est le bassin d’attraction de l’état d’équilibre $(0,1)$ qui correspond à la situation inverse. On parle de « bistabilité ». 

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