Une question qui semble innocente

Combien existe-t-il de ballons de foot ?

Reformulée comme un mathématicien : combien existe-t-il de façons d’agencer 60 sommets sur une sphère, en les reliant par des arêtes, de telle sorte qu’on obtienne des faces pentagonales et hexagonales, à raison de 3 arêtes par sommet ?

La réponse — surprenante — est 1812. Et le ballon de foot que vous connaissez, avec ses 12 pentagones noirs bien isolés, n’est qu’un seul de ces 1812 cas. Tous les autres existent et sont parfaitement valides du point de vue combinatoire, mais sont presque toujours « moches » : leurs pentagones se collent les uns aux autres et déforment la sphère.

Le prétexte chimique : les fullerènes C60

En 1985, Harold Kroto, Robert Curl et Richard Smalley découvrent une nouvelle forme du carbone : une molécule en cage moléculaire de 60 atomes organisée comme un ballon de foot — le buckminsterfullerène, en hommage à Buckminster Fuller et ses dômes géodésiques. Prix Nobel 1996. Mais la même formule C60 peut donner naissance à d’autres molécules en cage de géométrie différente : ce sont les isomères du C60. C’est ici que les mathématiques prennent le pouvoir.

Une combinatoire à la Descartes-Euler

Pourquoi exactement 12 pentagones et 20 hexagones ? Quatre relations combinatoires suffisent à le démontrer.

(1) Descartes-Euler pour tout polyèdre convexe : $s - a + f = 2$ (s sommets, a arêtes, f faces).
(2) Décomposition : $p + h = f$, en notant p et h le nombre de pentagones et d’hexagones.
(3) 3-régularité (3 arêtes par sommet, chaque arête comptée deux fois) : $3s = 2a$.
(4) Double comptage par les faces (chaque arête sépare deux faces) : $5p + 6h = 2a$.

Puisqu’on veut $s = 60$, on tire successivement $a = 90$, $f = 32$, puis le système $p + h = 32$, $5p + 6h = 180$ donne :

$$h = 20, \quad p = 12$$

Toujours. Aucune liberté sur les nombres. Toute la liberté est dans l’agencement des 12 pentagones parmi les 32 faces, et c’est là qu’apparaissent les 1812 possibilités.

La règle des pentagones isolés (IPR)

Parmi ces 1812 isomères, un seul a la propriété que ses 12 pentagones sont deux à deux non adjacents : c’est l’Isolated Pentagon Rule, et c’est précisément le ballon de foot connu.

Les 1811 autres ont, par construction, des paires de pentagones adjacents. Ces couples créent localement une courbure forte qui rend ces molécules moins stables, ce qui explique pourquoi seul le buckyball IPR se forme spontanément en quantité dans la nature. Mais sur le plan purement mathématique, les 1812 sont à pied d’égalité.

Énumérer l’inénumérable

Comment construire les 1812 sans en oublier ni en compter deux fois ? Brinkmann, Goedgebeur et McKay (logiciel libre buckygen, 2012) procèdent par construction récursive :

• On part du dodécaèdre (C20), le plus petit fullerène possible.
• On lui applique des opérations d’expansion qui ajoutent typiquement 4 atomes : un coin de la cage formé par deux arêtes adjacentes est écarté, 4 nouveaux atomes s’insèrent dans la fente, et la cage se reconnecte localement.
• À chaque étape on choisit parmi plusieurs expansions possibles. Pour éviter les doublons, l’algorithme ne retient qu’une forme canonique par isomère obtenu.
• On répète jusqu’à 60 atomes.

Le résultat est un arbre de génération de 5770 nœuds, dont les feuilles sont les 1812 isomères de C60.

L’atelier physique et son pendant numérique

L’atelier « Un ballon rond ? Quelle drôle d’idée ! » propose de construire des fullerènes à la main, avec un kit fabriqué au fablab du Mathemarium : 12 pentagones et 20 hexagones aimantés.

Le premier défi : fabriquer le ballon de foot en respectant la règle IPR. Le défi suivant, plus ouvert : chercher d’autres fullerènes par arguments de regroupement et de symétrie. Que se passe-t-il si l’on partage les 12 pentagones en deux groupes de 6, formant deux calottes aux pôles ? En 4 + 4 + 4 (symétrie tétraédrique) ? En 2 + 5 + 5 ? Les tuiles aimantés permettent de tester très rapidement.

La simulation interactive ci-dessous est le pendant numérique de cette exploration. Là où l’atelier physique permet de construire quelques fullerènes particuliers par raisonnement, la simulation permet de naviguer dans l’arbre complet des 1812, y compris l’écrasante majorité d’isomères « ordinaires » sans symétrie remarquable, qu’aucun raisonnement manuel n’aurait atteints. Les coordonnées 3D sont calculées par une relaxation par ressorts (longueurs de liaison cibles, angles de pentagone à 108°, hexagone à 120°).

Mode d’emploi de la simulation

Boutons

Trois groupes : reset, navigation manuelle dans l’arbre, génération automatique.

• ⏮ Dodécaèdre : retour à la racine. Toujours actif.
• ← Ascendant : remonte d’une étape vers le fullerène plus petit dont l’actuel est dérivé.
• Descendant ↘ : descend d’une étape en tirant aléatoirement parmi les expansions possibles (pondéré pour atteindre chacun des 1812 isomères avec probabilité uniforme).
• Croissance auto → : enchaîne automatiquement jusqu’à un C60.
• 🎲 Au hasard : reset + croissance vers un C60 aléatoire.
• Générer buckyball ⚽ : suit le chemin canonique vers l’unique isomère IPR.

Pause d’observation

À chaque clic manuel sur « Descendant », la simulation marque une pause avant de relaxer. Apparaissent alors :

• Atomes rouges : les nouveaux insérés sur la coque.
• Arêtes rouges : les nouvelles liaisons créées.
• Pointillés gris : les liaisons coupées par l’expansion.

Pendant cette pause, deux outils :

• ↔ Comparer avant/après : bascule instantanément entre l’état d’avant l’expansion (parent) et celui d’après l’insertion (enfant non encore relaxé). On peut tourner la molécule librement entre deux clics pour observer le site d’expansion sous tous les angles.
• ▶ Lancer la relaxation : démarre la simulation des forces de ressorts. Les couleurs rouges s’estompent à l’arrivée sur un C60.

Affichage

• Faces pleines : pentagones noirs, hexagones blancs, comme un vrai ballon de foot. Décocher pour voir le squelette atomes-arêtes seul.
• Liste à droite : journal des étapes, avec le nombre de choix qui existaient à chaque embranchement (« 1 PARMI 5 » = 5 expansions canoniques possibles, l’aléa en a choisi une).

Pour voir le buckminsterfullerène (ballon rond)

Cliquez Générer buckyball ⚽. À l’inverse, pour voir un fullerène C60 « ordinaire » (ce que peuple l’espace combinatoire), cliquez plusieurs fois 🎲 Au hasard : vous verrez ces structures typiques où les pentagones forment des chaînes — une géométrie qui n’existe pas en nature mais domine numériquement.