Attracteur de Plykin sur la sphère

S. Kuznetsov a proposé un système dynamique explicite donnant un attracteur de Plykin (qui est un attracteur hyperbolique). Ce système évolue sur la sphère unité.

On part d’une condition initiale qui est un point $\boldsymbol{x}_0=(x_0,y_0,z_0)$ qui satisfait $x_0^2+y_0^2+z_0^2=1$. Ensuite on définit son orbite par récurrence :

$$ \boldsymbol{x}_{n+1}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_n) :=\boldsymbol{f}_+(\,\,\boldsymbol{f}_-(\boldsymbol{x}_n)), \, n\geq 0 $$

$$ \boldsymbol{f}_{\pm}(\boldsymbol{x})= \begin{pmatrix} \pm z \\ \frac{y\, \mathrm{e}^{\frac{\varepsilon}{2}(x^2+y^2)} \cos\big(\frac{\pi}{2}(z\sqrt{2}+1)\big)\,\pm\, x\, \mathrm{e}^{-\frac{\varepsilon}{2}(x^2+y^2)} \sin\big(\frac{\pi}{2}(z\sqrt{2}+1)\big)}{\sqrt{\cosh( \varepsilon(x^2+y^2) +\varepsilon(y^2-x^2)\frac{\sinh(\varepsilon(x^2+y^2))}{\varepsilon(x^2+y^2)}}} \\ \frac{y\, \mathrm{e}^{\frac{\varepsilon}{2}(x^2+y^2)} \sin\big(\frac{\pi}{2}(z\sqrt{2}+1)\big)\,\mp\, x\, \mathrm{e}^{-\frac{\varepsilon}{2}(x^2+y^2)} \cos\big(\frac{\pi}{2}(z\sqrt{2}+1)\big)}{\sqrt{\cosh(\varepsilon(x^2+y^2)) +\varepsilon(y^2-x^2)\frac{\sinh(\varepsilon(x^2+y^2)}{\varepsilon(x^2+y^2)}}} \end{pmatrix}\cdot $$