Bifurcations à un paramètre dans des systèmes 2D

Nous illustrons les bifurcations de base pour des systèmes dynamiques de la forme

$$ \begin{cases} \dot{x}=f_\mu(x,y)\\ \dot{y}=g_\mu(x,y) \end{cases} $$

où $\mu$ est un paramètre réel. Dans chacune des expériences numériques interactives qui suit, on visualise les trajectoires de 400 conditions initiales et on peut observer comment le portrait de phase est modifié qualitativement lorsque $\mu$ varie.

Bifurcation nœud-col. Le prototype de cette bifurcation est donné par le système

$$ \begin{cases} \dot{x}= \mu-x^2\\ \dot{y}=-y \end{cases} $$

Lorsque $\mu>0$, on a deux points fixes : un nœud attractif situé au point $(\sqrt{\mu},0)$ et un col au point $(-\sqrt{\mu},0)$. En faisant décroître $\mu$, on constate que ces deux points de rapprochent, se confondent pour $\mu=0$, et disparaissent dès que $\mu<0$ : les points fixes se sont « annihilés ».

Bifurcation transcritique.

$$ \begin{cases} \dot{x}= \mu x-x^2\\ \dot{y}=-y \end{cases} $$

Bifurcation fourche sur-critique.

$$ \begin{cases} \dot{x}= \mu x-x^3\\ \dot{y}=-y \end{cases} $$

Bifurcation fourche sous-critique.

$$ \begin{cases} \dot{x}= \mu x+x^3\\ \dot{y}=-y \end{cases} $$

Bifurcation de Hopf sur-critique.

$$ \begin{cases} \dot{x}= \mu x-y -x(x^2+y^2)\\ \dot{y}=x+\mu y - y(x^2+y^2) \end{cases} $$

Bifurcation de Hopf sous-critique.

$$ \begin{cases} \dot{x}= \mu x-y + x(x^2+y^2)\\ \dot{y}=x+\mu y +y(x^2+y^2) \end{cases} $$