Diagramme de Bifurcation de l’application logistique

Nous avons introduit la suite logistique ici et indiqué qu’on pouvait visualiser la transition vers le chaos avec un diagramme de bifurcation que voici.
Pour le dessiner, « brosser » avec votre souris en cliquant quelque part et en maintenant la pression sur votre souris ou trackpad, ou bien avec votre doigt si vous utilisez une tablette.
L’attracteur est sur l’axe vertical en fonction du paramètre $r$ qui varie sur l’axe horizontal.

Pour calculer un tel diagramme, le principe est le suivant : on choisit une suite de valeurs de $r$, $r_1$, $r_2$,..., $r_N$, avec $N$ de l’ordre de $1000$ et progressant par pas de taille $0,005$. On calcule l’orbite $(x_n)$ de la condition initiale $x_0=0.5$ (par exemple) pour chaque $r_j$. Si on itère disons $50$ fois, on considère que la suite $(x_n)$ est proche de son comportement asymptotique (convergence, oscillations ou bien chaos). On a donc une valeur $x_{50}$ pour chaque $r_j$ qui dépend bien sûr de $r_j$ ; on la note $x_{50}(r_j)$.
On trace à la fin tous les couples $(r_j,x_{50}(r_j))$ pour $j=1,2,\ldots,N$.

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