Équation aux Dérivées Partielles Stochastique 1D

Une équation aux dérivées partielles stochastique, ou EDPS, décrit l’évolution dans l’espace et dans le temps d’un champ soumis à un terme aléatoire. Dans le cas de l’équation d’Allen—Cahn, ce champ peut représenter la densité d’atomes de deux types différents dans un alliage, ou encore l’aimantation d’un matériau magnétique.

L’équation d’Allen—Cahn pour le champ $u(t,x)$ s’écrit $\dot u = k u’’ + u - u^3 + b \xi$.
Le terme $k u’’$ (dérivée seconde par rapport à $x$) décrit le couplage entre atomes voisins, et tend à aplatir le profil $u$. Le terme $u - u^3$ représente la tendance de l’alliage vers l’un des états stables $+1$ ou $-1$. Enfin le terme $\xi$, appelé bruit blanc espace-temps, est un terme aléatoire décrivant l’agitation thermique.

Cette équation montre le phénomène de séparation de phase (« coarsening ») : les régions de phase $+1$ et $-1$ tendent à s’épaissir au cours du temps. Ce phénomène est plus marqué plus $k$ et grand, et s’accélère lorsque l’intensité du bruit augmente.

Pour plus de détails, lire l’article de Nils Berglund sur Image des maths.