L’attracteur de Hénon

En jouant sur les paramètres des équations de Lorenz et en utilisant une section de Poincaré, Pomeau et Ibanez mettent en évidence le mécanisme de formation d’un « fer à cheval » de S. Smale. Pomeau expose ses travaux lors d’un séminaire donné à l’Observatoire de la Côte d’Azur auquel assiste Michel Hénon.
Ce dernier propose alors un modèle très simple de tranformation quadratique du plan qui simule, lorsqu’un paramètre varie, le mécanisme de formation d’un fer à cheval : c’est le fameux modèle de Hénon.
La transformation est la suivante. On se donne $(x_0,y_0)$ dans le plan puis on définit sa trajectoire par récurrence :

$$ \begin{cases} x_{n+1} =y_n+1-ax_n^2 \\ y_{n+1} =b x_n \end{cases} $$

L’exploration numérique de ce modèle montre, pour certaines valeurs des paramètres, l’existence d’un « attracteur étrange » qui capture l’essentiel de la dynamique et qui possède une structure fractale.
Les valeurs « historiques » sont $a=1.4$, $b=0.3$.
Le fait que cet attracteur existe vraiment, et n’est pas seulement une croyance numérique, est resté un problème ouvert jusqu’à la fin des années 1980. C’est Benedicks et Carleson qui, les premiers, ont montré rigoureusement l’existence de tels objets en 1991. Leur théorème est un tour-de-force mathématique mais ne couvre pas les valeurs des paramètres $a=1.4$ et $b=0.3$.

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Michel Hénon

• Sur Image des Maths : http://images.math.cnrs.fr/Michel-Henon-et-le-systeme-de.html
• Sur wikipedia : http://fr.wikipedia.org/wiki/Michel_Hénon
• Interview : http://www.espace-turing.fr/Interview-de-Michel-Henon.html

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