Le modèle proie-prédateur de Lotka-Volterra

L’écologie mathématique est née dans les années 1920 avec les travaux d’Alfred Lotka (1880-1949) et de Vito Volterra (1860-1940) qui ont proposé indépendamment l’un de l’autre le premier modèle décrivant une interaction de type « proie-prédateur » ou, plus généralement, de type « ressource-consommateur ». Ce modèle déterministe s’écrit :

$$ \begin{cases} \dot{x} = x(1-y)\\ \dot{y}=y(-\lambda +x) \end{cases} $$

où $x(t)$ représente la densité de la population de proies, $y(t)$ celle de la population de prédateurs et $\lambda>0$ est un paramètre.
L’expérience numérique interactive qui suit vous permet de voir les solutions qui ne sont pas explicites en général. Il y a cependant quelques solutions particulières explicites :

• $(x^*,y^*)=(\lambda,1)$ qui est un équilibre au sens où si $x(t_0)=x^*$, $y(t_0)=y^*$ pour un temps $t_0$ donné alors $x(t)=x^*$, $y(t)=y^*$ pour tout $t$. Il s’agit de la coexistence des proies et des prédateurs.
• si $y=0$ alors il ne reste que la première équation qui devient $\dot{x}=x$. Sa solution est $x(t)=x(0)\, e^t$ où $x(0)>0$ est la densité initiale de proies supposée connue. La densité des proies explose ! La trajectoire correspondante est l’axe des abscisses positives.
• Si $x=0$ alors il ne reste que la deuxième équation qui devient $\dot{y}=-\lambda y$. Sa solution est $y(t)=y(0)\,e^{-\lambda t}$ où $y(0)>0$ est la densité initiale de prédateurs supposée connue. Sans proies, la population des prédateurs s’éteint rapidement. La trajectoire correspondante est l’axe des ordonnées positives.

Vous pouvez expérimenter numériquement ce modèle en cliquant dans la vue (ou en touchant un point dans la vue sur une tablette tactile), ce qui donne la trajectoire de la solution associée. Vous pouvez également visualiser le champ de vecteurs. Une seconde vue montre l’évolution de la population totale qui est la somme des deux fonctions $x(t)$ et $y(t)$.

On constate que toutes les trajectoires dont la condition initiale est un point à l’intérieur du quadrant positif (c.-à-d. qui correspond à une densité positive de proies et à une densité positive de prédateurs) sont des courbes fermées concentriques qui encerclent l’équilibre $(x^*,y^*)$. Comme le montre la seconde vue, cela veut dire que les densités $x(t)$ et $y(t)$ oscillent périodiquement.
On pourra lire cet article en ligne pour plus d’informations et pour la présentation d’autres modèles de type proie-prédateur. Ces modèles sont également disponibles sur ce site :

• le modèle proie-prédateur de Lotka-Volterra avec compétition entre proies ;
• le modèle proie-prédateur de Rosenzweig-McArthur.

Le premier empêche l’explosion de la population des proies en l’absence des prédateurs en introduisant de la compétition entre elles. Dans le second modèle, on modifie également le terme d’interaction entre proies et prédateurs pour le rendre plus réaliste.

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