Modèle de FitzHugh-Nagumo

Il s’agit d’un modèle jouet de milieu excitable, comme un neurone. Il a été conçu comme une simplification d’un modèle plus compliqué dû à Hodgkin et Huxley décrivant la propagation des potentiels d’action dans l’axone du calamar géant.
Le modèle de FitzHugh-Nagumo s’écrit

$$\{\begin{array}{l}\dot{v}=v-\frac{1}{3}{v}^3-w+I\\ \dot{w}=\frac{1}{\tau }(v+\alpha -\beta w).\end{array}$$

La variable $v$ représente l’excitabilité du système (le potentiel de membrane), $w$ est une variable de « récupération » (qui représente les forces combinées tendant à ramener la membrane au repos). On a quatre paramètres, $\alpha$, $\beta$, $\tau$ et $I$. Ce dernier représente le courant appliqué au système. Le paramètre $\tau$ permet de faire varier $v$ beaucoup plus vite que $w$ (pour $\alpha =0,7$, $\beta =0,8$ et $\tau =13$ on a $\dot{v}/\dot{w}\approx 10$.)

On a représenté en rouge le lieu des points où $\dot{v}=0$, c’est-à-dire la courbe d’équation $w=v-\frac{1}{3}{v}^3+I$, et le lieu des points où $\dot{w}=0$, c’est-à-dire la courbe d’équation $w=(v+\alpha )/\beta$. À l’intersection de ces deux courbes se trouve un point d’équilibre puisque $\dot{v}=0$ et $\dot{w}=0$.
On aura pu constater que si on modifie $I$ (en laissant les autres paramètres tels que prédéfinis), il y a une bifurcation de Hopf : si $I<0,33$, l’équilibre est attractif, le système relaxe vers cet état ; si $I\ge 0,33$, il devient répulsif et on voit un cycle limite apparaître, c’est-à-dire des oscillations périodiques.

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