Promenades aléatoires dans l’espace

Une particule part d’un point de l’espace $\mathbb{Z}^{3}$, c-à-d l’ensemble des points à coordonnées entières dans l’espace $\mathbb{R}^3$. Autrement dit, il s’agit d’un réseau tridimensionnel cubique dont les arêtes sont de même longueur égale à un. Un point de $\mathbb{Z}^{3}$ est représenté par un triplet $(x,y,z)$ où $x\in\mathbb{Z}$, $y\in\mathbb{Z}$, $z\in\mathbb{Z}$.

La particule effectue une promenade aléatoire en faisant un saut à chaque pas de temps de la manière suivante : si la particule est au point de coordonnées $(x,y,z)$ à l’instant $t$, elle peut aller à l’un des six points de coordonnées $(x\pm 1,y,z)$, $(x,y\pm 1,z)$, $(x,y,z\pm 1)$ à l’instant $t+1$. Ces six points ont la même probabilité d’être atteints, c-à-d $1/6$. Autrement dit, les six points les plus proches voisins du point où la particule se trouve en un temps donné sont accessibles de façon équiprobable. La promenade est dite « symétrique » ou « isotrope ».

Le cas de la dimension deux, c-à-d des promenades sur la grille $\mathbb{Z}^2$, se trouve ici.

Dans l’expérience numérique qui suit, on peut changer le nombre total de sauts et voir trois réalisations possibles de la promenade. On peut également faire tourner les promenades pour les observer sous tous les angles. (Pour plus de clarté, on joint les points visités entre eux par un segment.)

On peut démontrer mathématiquement que la probabilité qu’il existe un temps fini au bout duquel la particule repasse par son point de départ est strictement plus petite que un (elle vaut environ $0,34$). C’est le théorème de Pólya. Ce théorème établit également que la probabilité en question vaut par contre un en dimension deux, c.-à-d. quand on se promène sur le réseau $\mathbb{Z}^2$.

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