Version stochastique du modèle proie-prédateur de Rosenzweig-McArthur

Nous avons déjà présenté le modèle proie-prédateur de Rosenzweig-McArthur

$$ \begin{cases} \dot{x} = x \left(1-\frac{x}{\gamma}\right)- \frac{xy}{1+x} \\ \dot{y} =\beta y\left(\frac{x}{1+x}-\alpha\right) \end{cases} $$

où $x(t)$ est la densité des proies, $y(t)$ celle des prédateurs, et $\alpha,\beta, \gamma$ sont des paramètres positifs. Nous montrons ici comment il est lié à un processus markovien de saut $(N_x(t), N_y(t))_{t\geq 0}$, convenablement normalisé par un paramètre $K$ qui mesure l’échelle des deux populations. On note $N_x(t)$ le nombre de proies au temps $t$ et $N_y(t)$ le nombre de prédateurs au temps $t$, qui sont des variables aléatoires. Supposons qu’au temps $t$ il y ait $n_x\geq 1$ proies et $n_y\geq 1$ prédateurs (c-à-d, $N_x(t)=n_x$ et $N_y(t)=n_y$). Entre les temps $t$ et $t+h$ ($h$>0) la probabilité qu’il y ait
 la naissance d’une proie vaut

$$ n_x h + o(h) \, ; $$

 la mort d’une proie dûe à la compétition entre proies vaut

$$ \frac{n_x^2}{\gamma K} h+ o(h) \, ; $$

 la mort d’une proie dûe à la prédation vaut

$$ \frac{n_x n_y}{K+n_x} h+ o(h) \, ; $$

 la naissance d’un prédateur vaut

$$ \frac{\beta n_x n_y}{K+n_x}+ o(h) \, ; $$

 la mort d’un prédateur vaut

$$ \alpha \beta n_y h+ o(h)\,. $$

La probabilité qu’aucun de ces événements n’ait lieu entre $t$ et $t+h$ vaut

$$ 1-n_x \left(1+\frac{n_x}{\gamma K} +\frac{n_y}{K+n_x} \right) h - \beta n_y \left(\frac{n_y}{K+n_x} +\alpha \right) h + o(h). $$

Enfin, la probabilité qu’il y ait tout autre événement (comme la naissance de deux proies par exemple) vaut $o(h)$.
Voici une expérience numérique où vous pouvez comparer, en fonction de $K$, les trajectoires déterministes (en noir) du modèle de Rosenzweig-McArhtur avec celles du processus markovien de saut (en rouge).

Contentons-nous ici d’énoncer le théorème de Kurtz qui est le résultat de base pour comprendre ce qui se passe. Soit $T>0$ un horizon temporel. Supposons $N_x(0)$ et $N_y(0)$ donnés. Alors, pour tout $\varepsilon>0$

$$ \lim_{K\to+\infty} \mathbb{P}\left( \sup_{0\leq t\leq T}\mathrm{dist}\left(\left(\frac{N_x(t)}{K},\frac{N_y(t)}{K}\right),(x(t),y(t)) \right)\ge \varepsilon\right)=0 $$

où $(x(t),y(t))$ est la solution du modèle de Rosenzweig-McArthur démarrant de $x(0)=N_x(0)/K$, $y(0)=N_y(0)/K$, et $\mathrm{dist}$ est la distance euclidienne. Ajoutons que si on fixe $K$ et qu’on fait tendre $T$ vers l’infini, alors l’extinction a lieu avec probabilité égale à un.