Deux proies & un prédateur : illustration de la sensibilité aux conditions initiales

On considère un modèle où deux populations, l’une de densité $x$, l’autre de densité $y$, sont en compétition (voir cette expérience numérique interactive). Il y a en plus une troisième population, de densité $z$, qui exerce sa prédation sur ces deux populations.

Pour certaines valeurs des paramètres, la dynamique de ces trois populations conduit à un attracteur complexe, du même genre que celui du modèle de Lorenz. L’attracteur n’est ni un point, ni un cycle limite mais un ensemble fractal.
Voici les équations différentielles de ce modèle :

$$ \begin{cases} \dot{x} & = x(1-x-y-10z)\\ \dot{y} & = y(1-1.5x-y-z)\\ \dot{z} & = z(-1+5x+0.5y-0.01z) \end{cases} $$

Vous pouvez manipuler l’attracteur en 3D sur cette page.
L’expérience numérique ci-dessous illustre la sensibilité aux conditions initiales. On prend deux conditions initiales proches sur l’attracteur. Pendant un certain temps, les deux trajectoires correspondantes sont proches mais elles se séparent nettement, avant de se rapprocher à nouveau à cause du fait que les trajectoires sont confinées dans l’attracteur (sans jamais se croiser à cause du déterminisme). Et ainsi de suite.
Le phénomène remarquable est qu’on ne peut pas prédire quand les deux trajectoires vont se rapprocher à nouveau : il n’y a pas de périodicité, les mouvements ont l’air erratique alors que le système est déterministe : c’est ce qu’on appelle le chaos déterministe.
Pour plus de clarté, on projette la dynamique dans le plan $(Oxy)$ et on visualise également $x(t)$.

Dans l’expérience suivante, on lance 3000 conditions initiales très proches les unes des autres.