Le modèle proie-prédateur de Volterra avec compétition entre proies

Le modèle que vous pouvez expérimenter numériquement ci-après est une variante du modèle proie-prédateur de Loka-Volterra. Il s’écrit

$$ \begin{cases} \dot{x}=x(1-x-y)\\ \dot{y}=\beta(x-\alpha)y \end{cases} $$

où $\alpha$ et $\beta$ sont des paramètres positifs. La différence avec le modèle proie-prédateur de Loka-Volterra est qu’en l’absence de prédateurs, la densité des proies suit l’équation $\dot{x}=x(1-x)$ au lieu de l’équation $\dot{x}=x$. La conséquence est que $x(t)$ ne peut plus tendre vers l’infini mais tend vers $1$, comme le montre l’expérience numérique ci-dessous.

ENI équation logistique à mettre.

Le lecteur peut expérimenter numériquement le modèle en manipulant l’expérience numérique interactive ci-dessous et constater que les solutions se comportent très différemment de celles du modèle proie-prédateur de Loka-Volterra.

On constate que l’équilibre $(x^*,y^*)=(\alpha,1-\alpha)$, qui correspond à la coexistence entre les proies et les prédateurs, attire toutes les solutions dont les conditions initiales sont des densités de proies et de prédateurs positives. Cela s’interprète comme un retour à l’équilibre si on a perturbé le système. On parle de coexistence stable.

On voit aussi que cet équilibre n’existe pas si $\alpha$ devient supérieur à $1$ car ce n’est plus un point du quadrant positif et qu’il n’a donc plus de sens biologique. Quand $\alpha$ vaut $1$, cet équilibre se confond avec l’équilibre $(1,0)$ qui est celui vers lequel tend la densité de proies s’il n’y a pas de prédateurs.

La conclusion est qu’en prenant en compte la compétition entre proies, qui empêche qu’elles prolifèrent sans borne en l’absence de prédateurs, on a complètement détruit le caractère oscillatoire périodique des solutions du modèle proie-prédateur de Loka-Volterra. Pour retrouver de telles oscillations, il faut en fait modifier le terme d’interaction : c’est l’objet du modèle de Rosenzweig-McArthur.

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