Pendule avec fil souple

Contrairement au pendule simple, le pendule considéré ici est une masse accrochée à fil souple au lieu d’une tige (rigide). Le nouveau phénomène est le décrochage de la masse lorsqu’elle n’exerce plus de tension sur le fil : il y a une phase de chute libre.
Dans l’expérience numérique interactive ci-dessous, une zone rouge est indiquée dans le plan de phase $(\theta,\dot{\theta})$ : dans cette zone, le pendule n’obéit plus à l’équation du pendule simple.

Utilisation de la simulation :

• Cliquez-déplacez dans la vue de gauche pour donner un angle au pendule avec une vitesse nulle.
• Cliquez-déplacez dans le portrait de phase (vue de droite) pour donner un angle et une vitesse initiales au pendule.
• Cliquez sur Lancer pour lancer la simulation.
• Cliquer sur Effacer pour effacer le portrait de phase.

Les zones "interdites" pour lesquelles le pendule décroche sont indiquées en rouge sur le portrait de phase.

Nous donnons un peu plus de détails sur la zone rouge. Les équations gouvernant le mouvement du pendule sont

$$ \begin{cases} mL\ddot{\theta}=-mg\sin\theta\\ -mL\dot{\theta}^2= mg\cos\theta-T \end{cases} $$

où $T$ est l’intensité de la force de tension qui s’exerce le long du fil. On a donc

$$ T=mL\dot{\theta}^2+mg\cos\theta. $$

Physiquement, $T\geq 0$, ce qui impose une contrainte sur $\theta$ et $\dot{\theta}$ : la zone rouge dans laquelle $T\leq 0$ est déterminée par l’inéquation $\dot{\theta}^2+\frac{g}{L}\cos\theta\leq 0$ qui délimite les deux régions rouges symétriques.